高中数学必修5基本不等式教学设计(DOC 7页)
8页1、基本不等式【教学目标】1知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;2过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;3情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式的证明过程;【教学难点】基本不等式等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式的几何背景:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2.讲授新课1探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样,4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:。当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为
2、一个点,这时有。2得到结论:一般的,如果3思考证明:你能给出它的证明吗?证明:因为 当所以,即41)从几何图形的面积关系认识基本不等式特别的,如果a0,b0,我们用分别代替a、b ,可得,通常我们把上式写作: 2)从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明:要证 (1)只要证 a+b (2)要证(2),只要证 a+b- 0 (3)要证(3),只要证 ( - ) (4)显然,(4)是成立的。当且仅当a=b时,(4)中的等号成立。 3)理解基本不等式的几何意义探究:课本第98页的“探究”在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?易证tADtDB,那么D2AB即D.这个圆的半径为,显然,它大于或等于CD,即,其中当且仅当点C与圆心重合,即ab时,等号成立.因此:基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述:1.如果把看作是正数a、b的等差中项,看作是正数a、b的等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中,我们称为a、b的算术平均数,称为a、b的
3、几何平均数.本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.补充例题例1 已知x、y都是正数,求证:(1)2;(2)(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.分析:在运用定理:时,注意条件a、b均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形.解:x,y都是正数 0,0,x20,y20,x30,y30(1)2即2.(2)xy20 x2y220 x3y320(xy)(x2y2)(x3y3)222x3y3即(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.3.随堂练习1.已知a、b、c都是正数,求证(ab)(bc)(ca)abc分析:对于此类题目,选择定理:(a0,b0)灵活变形,可求得结果.解:a,b,c都是正数ab20bc20ca20(ab)(bc)(ca)222abc即(ab)(bc)(ca)abc.4.课时小结本节课,我们学习了重要不等式a2b22ab;两正数a、b的算术平均数(),几何平均数()及它们的关系().它们成立的条件不同,前者只要求a、b都是实数,而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它
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