角平分线性质在解题中的应用(教育精品)
14页1、构造角平分线借助其性质解题在解决三角形的问题中,如果已知条件中涉及到角的平分线,我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题.现举例如下. 一、证明线段相等例1 如图1,在ABC中,BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.分析:根据已知可知AD是BAC的平分线,可通过点D作BAC的垂线,根据角平分线的性质,结合三角形的面积进行证明.证明:过点D作DEAB,DFAC,垂足分别为E、F.因为DA为BAC的平分线,所以DE=DF.又因为AD平分BC,所以BD=CD,所以SABD=SACD,又SABD=ABDE,SACD=ACDF,所以ABDE=ACDF,所以AB=AC. 图1 图2二、证明两角的和等于180.例2 已知,如图2,AC平分BAD,CD=CB,ABAD.求证:B+D=180.分析:因为AC是BAD的平分线,所以可过点C作BAD的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题. 证明:作CEAB于E,CFAD于F.因为AC平分BAD,所以CE=CF.在CBE和CDF中,因为CE=CF,CB=CD,所以RtCBERtCDF,所以B=1,因为1+ADC=180,所以B+AD
2、C=180,即B+D=180.三、证明角相等例3如图3,在ABC中,PB、PC分别是ABC的外角的平分线,求证:1=2分析:要证明AP是BAC的平分线,需要证明点P到BAC两边的距离相等,可作PEAB,PGAC,PHBC,易证PE=PH,PH=PG,从而PE=PG.证明;过点P作PEAB于点E,PGAC于点G,PHBC于点H.因为P在EBC的平分线上,PEAB,PHBC,所以PE=PH,同理可证PH=PG,所以PG=PE,又PEAB,PGAC,所以PA是BAC的平分线.所以1=2. 图3 图4四、证明角的平分线例4 如图4,DAAB,CBAB,P是AB的中点,PD平分ADC.求证:CP平分DCB.分析:因为DAAB,PD平分ADC,所以可过点P作PEAC,利用角平分线的性质得到PE=PA,进而可得到PE=PB.证明:过点P作PEDC,垂足于E,因为PD平分ADC,PAAD,所以PA=PE,因为P为AB的中点,所以PA=PB,所以PE=PB,因为CBBP,CEPE,所以CP平分DCB五、求角的度数例5 如图5,在ABC中,ABC=100,ACB=20,CE平分ACB,D是AC上一点,若C
3、BD=20,求ADE的度数.分析:由于CE平分ACB,可过点E作ACB的两边的垂线,通过证明DE是ADB的平分线解决问题.解:作ENCA,EMBD,EPCB,垂足分别是N、M、P.因为ABD=ABC-CBD=100-20=80,PBA=180-100=80,所以PBA=ABD,因为EMBD于M,EPCB于P,所以EP=EM,又CE平分ACB,ENCA,EPCB,所以EN=EP,所以EN=EM,所以ED平分ADB,所以ADE=ADB=40=20. 图5“截长补短法”在角的平分线问题中的运用人教八年级上册课本中,在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法,在无法进行直接证明的情形下,利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1. 已知,如图1-1,在四边形ABCD中,BCAB,AD=DC,BD平分ABC.求证:BAD+BCD=180.分析:因为平角等于180,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.证明:过点D作D
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