角平分线性质在解题中的应用(教育精品)

构造角平分线借助其性质解题在解决三角形的问题中，如果已知条件中涉及到角的平分线，我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题.现举例如下. 一、证明线段相等例1 如图1，在ABC中，BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.分析：根据已知可知AD是BAC的平分线，可通过点D作BAC的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明.证明：过点D作DEAB，DFAC，垂足分别为E、F.因为DA为BAC的平分线，所以DE=DF.又因为AD平分BC，所以BD=CD，所以SABD=SACD，又SABD=AB·DE，SACD=AC·DF，所以AB·DE=AC·DF，所以AB=AC. 图1 图2二、证明两角的和等于180°.例2 已知，如图2，AC平分BAD，CD=CB，AB>AD.求证:B+D=180°.分析:因为AC是BAD的平分线,所以可过点C作BAD的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题. 证明:作CEAB于E,CFAD于F.因为AC平分BAD,所以CE=CF.在CBE和CDF中,因为CE=CF,CB=CD,所以RtCBERtCDF,所以B=1,因为1+ADC=180°,所以B+ADC=180°,即B+D=180°.三、证明角相等例3如图3，在ABC中，PB、PC分别是ABC的外角的平分线，求证：1=2分析：要证明AP是BAC的平分线，需要证明点P到BAC两边的距离相等，可作PEAB，PGAC，PHBC，易证PE=PH，PH=PG，从而PE=PG.证明；过点P作PEAB于点E，PGAC于点G，PHBC于点H.因为P在EBC的平分线上，PEAB，PHBC，所以PE=PH，同理可证PH=PG，所以PG=PE，又PEAB，PGAC，所以PA是BAC的平分线.所以1=2. 图3 图4四、证明角的平分线例4 如图4，DAAB，CBAB，P是AB的中点，PD平分ADC.求证：CP平分DCB.分析：因为DAAB，PD平分ADC，所以可过点P作PEAC，利用角平分线的性质得到PE=PA，进而可得到PE=PB.证明：过点P作PEDC，垂足于E，因为PD平分ADC，PAAD，所以PA=PE，因为P为AB的中点，所以PA=PB，所以PE=PB，因为CBBP，CEPE，所以CP平分DCB五、求角的度数例5 如图5，在ABC中，ABC=100°，ACB=20°，CE平分ACB，D是AC上一点，若CBD=20°，求ADE的度数.分析：由于CE平分ACB，可过点E作ACB的两边的垂线，通过证明DE是ADB的平分线解决问题.解：作ENCA，EMBD，EPCB，垂足分别是N、M、P.因为ABD=ABC-CBD=100°-20°=80°，PBA=180°-100°=80°，所以PBA=ABD，因为EMBD于M，EPCB于P，所以EP=EM，又CE平分ACB，ENCA，EPCB，所以EN=EP，所以EN=EM，所以ED平分ADB，所以ADE=ADB=×40°=20°. 图5“截长补短法”在角的平分线问题中的运用人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求证：BAD+BCD=180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F，如图1-2图1-1BD平分ABC，DE=DF，在RtADE与RtCDF中，图1-2RtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180°，BAD+DCF=180°，即BAD+BCD=180°例2. 如图2-1，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求证：CD=AD+BC.分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.图2-1证明：在CD上截取CF=BC，如图2-2在FCE与BCE中，FCEBCE（SAS）,2=1.图2-2又ADBC，ADC+BCD=180°，DCE+CDE=90°，2+3=90°，1+4=90°，3=4.在FDE与ADE中，FDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.例3. 已知，如图3-1，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD.求证：BAP+BCP=180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2图3-11=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE与RtBPD中，RtBPERtBPD(HL),图3-2BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE与RtCPD中,RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180°.BAP+BCP=180°例4. 已知：如图4-1，在ABC中，C2B，12.图4-1求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，如图4-2ACB2E，图4-2ACB2B，BE，在ABD与AED中,ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截长法）在AB上截取AF=AC，如图4-3在AFD与ACD中,图4-3AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，FDBB，FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.由角平分线引出的线段关系一.过三角形一边的两个顶点分别作两个内角的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边相截，则截线长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和。已知：如图1，、的平分线相交于点F，过F作DE/BC，交AB于D，交AC于E，求证：图1证明：BF平分，BE/BC同理可证即二. 过三角形两个外角（或一个内角与一个外角）的平分线的交点作平行截线，三条截线段的关系又怎么样？请看以下例证。例1. 已知：如图2，D是的外角，的平分线AD、CD的交点，过D作EF/AC，交BA的延长线于E，交BC的延长线于F。图2试指出AE、FC、EF的关系。分析：AD平分，EF/AC同理可证。而例2. 已知，如图3，D是的内角与外角的平分线BD与CD的交点，过D作DE/BC，交AB于E，交AC于F。试确定EF、EB、FC的关系。图3分析：BD平分，DE/BC易证又，CD平分而因此，这道习题的命题可推广为：过三角形一边的两个顶点分别作两个内角或两个外角（一个内角与一个外角）的平分线相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边或两边的延长线相截，则截线段的长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和（或差）。三角形角平分线的应用例析三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明A一、“以角平分线为轴翻折”构造全等三角形A此情形可构造两种基本图形如图1、2所示：CB如图1，以AD为轴翻折，ED使点C落在AB上（即在ABEDCB上截取AE = AC），得ACD（图2）（图1）AED如图2，以AD为轴翻折，使点B落在AC的延长线上（即延长AC到E，使 AE = AB），得ABDAED例 1 如图3，在ABC中，AD平分BAC，AB + BD = AC，求B C的值（河南省中考题）解法1：在AC上截取AE = AB ，连结AEBAD = DAE，AD = AD， AABDAED， ECB = AED，BD = DEB又AB + BD = AC， （图3）DCE = BD = DE，C = EDC，B = AED = 2C，B C = 21解法2：延长AB到E，使AE = AC ，连结DE请读者一试二、“角平分线 + 垂线”构造全等三角形或等腰三角形1、根据角平分线的性质作垂线：自角的平分线上任一点向两边作垂线，得两个全等的直角三角形；2、根据等腰三角形的“三线合一”性质作垂线：自角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截的一个等腰三角形例 2 如图4，在四边形ABCD中，EABC > BA，AD = DC，BD平分ABCD求证：A + C = 180°证明：过点D作DEAB，交BA延FCB长线于点E，作DFBC，交BC于点F （图4）BD平分ABC，DE = DF 又AD = DC，RtEADRtFCD，C = EADEAD + BAD = 180°，C + BAD = 180°F例 3 如图5，已知等腰RtABC中，A = 90°，B的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E求证：BD = 2CE .A证明：延长CE交BA的延长线于点F EBE是B的平分线，BECF，DBCF = F，