无穷积分的性质与收敛判别法

1、2无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求：Cauchy准则、比较判掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。教学重点，难点：无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。教学内容：本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法uF(u)=fxdx在u一+8时是否存在a无穷积分的性质由定义知道，无穷积分fxdx收敛与否，取决于函数a极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。定理无穷积分fxdx收敛的充要条件是：任给0,存在Ga,只要ui、u2G便有au2fxdxauifxdxa%fxdxui证明：由于fxdxaljmuafxdx=limF(u)，u所以fxdx收敛aliQF(u)存在uu2fxdxuiu2fxdxauifxdxa0,Ga,只要ui、u2G便有|FM)F(ui).此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。性质i（线性T质）若fxdx与f2xdx都收敛，ki、k2为任意常数，则kifixk2f2xdx也收敛，且kifixk2f2xdx=k

2、ifiaaxdxk2f2axdx。(i)证明：记J1afiXdXlimaufixdx,J2f2xdxaulimauf2xdx,k2f2xdxu则akifixk2f2xdx=iimakifixulimk1at(X)dXk2af2(X)dxu性质2若f在任何有限区间uk1limaf1(x)dxk2limf2(x)dxk1J1k2J2=k1afi(x)dxk2af2(x)dx.口au上可积,avb,则xdx与bfxdx同敛态（即同时收敛或同时发散），且有bfxdxfxdxaabxdx(2)其中右边第一项是定积分。证明：由于fxdx收敛Limfxdx存在.又limuxdx=lim(uxdxubfxdx)bfxdxaulimbfxdx,其中右边第一项是定积分。u所以axdx与fxdx同敛态（即同时收敛或同时发散），且有bbfxdxfxdxfxdx.ab性质2相当于定积分的积分区间可加性(2)由性质2及无穷积分的收敛定义可推出fxdx收敛的另一充要条件：任给0,存在Ga,当uG时,总有fxdxu事实上,fxdx收敛J=limudx存在0,0,0,a,a,a,在任何有限区间G时,G时,G时,a，ux

3、dxwxdxxdxfxdxdxfxudx)上可积，且有fxdx。xdx收敛，则xdx亦必收敛，并(3)证明：由fxdx收敛，根据柯西准则（必要性），任给0,存在Ga,当U2UiG时,aU2fxdxUi总有U2|fxdx|Ui利用定积分的绝对值不等式，又有U2fxdxUiU2fxdxUi再由柯西准则（充分性）,证得fxdx收敛aU又因fxdxaUfxdxuaa,令u-+8取极限，立刻得到不等式.fxdx收敛时，称a性质3指出：绝对收敛fxdx为绝对收敛，称收敛而不绝对收敛者为条件收敛。收敛。但其逆命题一般不成立，今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛（本节例3中当0vpwi时处xdx条件收敛）。1 xp二比较判别法这一部分介绍无穷积分的绝对收敛判别法（比较准则及其三个推论）。UU由于fxdx关于上限u是单调递增的，因此fxdx收敛的充要条件是fxdx存在上aaa界。根据这一分析，便立即导出下述比较判别法（请读者自己写出证明）：定理（比较法则）设定义在a,+8上的两个函数f和g都在任何有限区G（u）间a,u可积，且满足fxgx,xa,）,则当g（x）dx收敛时fxdx必收敛（或者，当f

4、xdx发散时，g（x）dxaaaa发散）。证明法一根据鼻习题2结论：设f为定义在a,）上的增（减）函数.则limf（x）x存在的充要条件为f在a,）上有上（下）界.U当ag(x)dx收敛时，limag(x)dxlimG(u)存在.又G(u)单增，从而存在M0,使得UUUUF(U)=fxdxg(x)dxG(u)M,ua,)，即F(u)有上界M.又显然F(u)单增.aafxdx必收敛.u0,存在Ga,当u2uiG时,故lima1f31dxiimF存在,从而a法二由于ag（x）dx收敛，根据柯西准则（必要性）,对任意总有u2u1gxdxU2又|fx|g(x),xa,).因此有|fx|dxulU2Uigxdx根据柯西准则（充分性）|f(x)|dx收敛.a解由于sinx1x20x为绝对收敛。sinx1x2dx的收敛性。1o,且ljmgxc,则有(i)当0VCV+8时,fxdx与gxdx同敛态;(ii)当c=0时,由agxdx收敛可推知fxdx也收敛;（2当C=+8时，由agXdX发散可推知afxdx也发散。、.|fx证明limc，c(0,).对0xgxc一|f(x)|c-,Ma,当xM时，、”c

5、|-,即2g(x)2c|f(x)|3c2 g(x)2从而由比较法则结合性质2知，afxdx与agXdx同敛态.fx(ii)由|imJ0,对0,Ma,当xgxxM时，1f(x)1，从而|f(x)|g(x),g(x)从而由比较法则结合性质2知，由gxdx收敛可推知fxdx也收敛.(iii)lximgx对G0,Ma,当xM时，|f(x)|G,从而g(x)|f(x)|Gg(x),从而由比较法则结合性质2知，由gxdx发散可推知fxdx也发散.aa当选用dx入dx作为比较对象apaxg(x)dx时，比较判别法及其极限形式成为如下两个推论(称为柯西判推论2设f定义于a,)(a0),且在任何有限区间a,u上可积，则有:1,，一(i)当fx-,xCa,)，且pl时fxdx收敛;xpa,1,()当fx-,xea,)，且pw1时fxdx发放。paxa推论3设f定义于a,),在任何有限区间a,u上可积，且limxpfxx则有：(i)当p1,0V+8时，fxdx收敛；a(ii)当p0,由于|imgx=0,因此存在xxG时，有gx何U2uiG,存在U2U1fxgx4Meui,dx又因g为单调函数，利用积分第二中

6、值定理（定理的推论）U2,使得UifxdxuigU2U2fxdx。于是有u2fu1dxgUiUio）的收敛性。ixpixp解这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论。下面分两种情形来讨论:sinx(i)当p1时sUdx绝对收敛。这是因为1xpsinxxp1/x1,)，sinxxpdx收敛。dxdx当p1时收敛，故由比较法则推知xp1(ii)当o0时单调趋于0(x-+8),故由狄利克雷判别法推知snxdx当xpp0时总是收敛的。另一方面，由于sinxpx.2sinx1cos2x,x1,),其中2x2xcos2x,dx2x1cost-dt满足狄22t利克雷判别条件，是收敛的,dx一.一而dx是发散的，因此当12x0Vp1时该无穷积分不是绝对收敛的。所以它是条件收敛的。例4证明下列无穷积分都是条件收敛的:.2，2，.sinxdx,cosxdx,xsin111x4dx。证前两个无穷积分经换元t=x2得到1sinx2dx=sintdt,12Vcosx2dx=-cosldt.112t由例3已知它们是条件收敛的。对于第三个无穷积分，经换元t=x2而得4121xsinxdx=21sint出，匕也是条件收敛的。从例4中三个无穷积分的收敛性可以看到，当x-+8时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛(P26

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