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计算方法各章习题及答案

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常见问题

1、第二章数值分析2.1已知多项式通过下列点：-2-10123315111161试构造一多项式通过下列点：-答案：2.2观测得到二次多项式的值：-2-1012表中的某一个函数值有错误，试找出并校正它答案：函数值表中错误，应有2.3利用差分的性质证明2.4当用等距节点的分段二次插值多项式在区间近似函数时，使用多少个节点能够保证误差不超过答案：需要143个插值节点2.5设被插值函数，是关于等距节点的分段三次艾尔米特插值多项式，步长试估计答案：第三章函数逼近3.1 求在空间上最佳平方逼近多项式，并给出平方误差答案：的二次最佳平方逼近多项式为，二次最佳平方逼近的平方误差为3.2确定参数，使得积分取最小值答案：3.3求多项式在上的次最佳一致逼近多项式答案：的最佳一致逼近多项式为3.4用幂级数缩合方法，求上的次近似多项式，并估计答案：，3.5求上的关于权函数的三次最佳平方逼近多项式，并估计误差和答案：，第四章数值积分与数值微分4.1用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分，并与精确值比较答案：计算结果如下表所示0. 50. 500 0000. 500 0000. 500 0000. 50. 33

2、3 3330. 250 0000. 208 3330. 5 0. 333 3330. 250 0000. 200 000精确值0. 50. 333 3330. 250 0000. 200 0004.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量高，并指明所确定的求积公式具有的代数精度（）（）（）答案：（）具有三次代数精确度（）具有二次代数精确度（）具有三次代数精确度4.3设，确定求积公式中的待定参数，使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式答案：，其中4.4设是以为插值点的的二次插值多项式，用导出计算积分的数值积分公式，并用台劳展开法证明：答案：4.5给定积分（）运用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过（）取同样的求积节点，改用复化辛浦生公式计算时，截断误差是多少？（）要求的截断误差不超过，若用复化辛浦生公式，应取多少个节点处的函数值？答案：（）只需，取个节点，（）（）取个节点处的函数值4.6用变步长的复化梯形公式和变步长的复化辛浦生公式计算积分要求用事后误差估计法时，截断误不超过和答案：使用复化梯形公式时，满足精度要求；使用复化辛浦生公式时，满足精度

3、要求4.7（）利用埃尔米特插值公式推导带有导数值的求积公式，其中余项为（）利用上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式，其中，而4.8 用龙贝格方法计算椭圆的周长，使结果具有五位有效数字答案：4.9 确定高斯型求积公式的节点，及系数，答案：，4.10验证高斯型求积公式的系数及节点分别为第五章解线性方程组的直接法5.1 用按列选主元的高斯-若当消去法求矩阵的逆矩阵，其中答案： 5.2用矩阵的直接三角分解法解方程组答案：，5.3用平方根法(Cholesky分解法)求解方程组答案：，5.4用追赶法求解三对角方程组答案：，第六章解线性代数方程组的迭代法.对方程作简单调整，使得用高斯赛得尔迭代法求解时对任意初始向量都收敛，并取初始向量，用该方法求近似解，使答案：近似解为 .讨论松弛因子时，用SOR方法求解方程组的收敛性若收敛，则取迭代求解，使答案：方程组的近似解为，.给定线性方程组，其中，证明用雅可比迭代法解此方程组发散，而高斯赛得尔迭代法收敛.设有方程组，讨论用雅可比方法和高斯赛得尔方法解此方程组的收敛性如果收敛，比较哪种方法收敛较快答案：雅可比方法收敛，高斯赛得尔方法收敛,且较快.设矩阵非奇异

4、求证：方程组的解总能通过高斯赛得尔方法得到. 设为对称正定矩阵，对角阵求证：高斯赛得尔方法求解方程组时对任意初始向量都收敛第七章非线性方程求根例.对方程确定迭代函数及区间，使对，迭代过程均收敛，并求解要求答案：若取，则在中满足收敛性条件，因此迭代法在中有惟一解取，取，在上满足收敛性条件，迭代序列在中有惟一解取，在上，将原方程改写为，取对数得满足收敛性条件，则迭代序列在中有惟一解取，例.对于迭代函数，试讨论：（）当为何值时，产生的序列收敛于；（）取何值时收敛最快？（）取分别计算的不动点，要求答案：（）时迭代收敛（）时收敛最快（）分别取，并取，计算结果如下表.所示表.11.875 000 00011.716 506 35151.773 991 12021.731 981 005101.723 068 88231.732 050 806341.732 045 78641.732 050 807 351.732 054 483例.13 设不动点迭代的迭代函数具有二阶连续导数，是的不动点，且，证明Steffensen迭代式二阶收敛于例7.15 设，试确定函数和，使求解且以为迭代函数的迭代法

5、至少三阶收敛答案：，例.19设在上有高阶导数，是的重根，且牛顿法收敛，证明牛顿迭代序列有下列极限关系：第八章矩阵特征值8.1用乘幂法求矩阵的按模最大的特征值与对应的特征向量，已知，要求，这里表示的第次近似值答案：，对应的特征向量为；，对应的特征向量为8.2用反幂法求矩阵的按模最小的特征值知的按模较大的特征值的近似值为，用的原点平移法计算及其对应的特征向量答案：(1) 的按模最小的特征值为(2) ，对应的特征向量为8.3设方阵的特征值都是实数，且满足，为求而作原点平移，试证：当平移量时，幂法收敛最快8.4用二分法求三对角对称方阵的最小特征值，使它至少具有位有效数字答案：取即有位有效数字8.5 用平面旋转变换和反射变换将向量变为与平行的向量答案：8.6 若，试把化为相似的上Hessenberg阵，然后用方法求的全部特征值第九章微分方程初值问题的数值解法9.1用反复迭代（反复校正）的欧拉预估校正法求解初值问题，要求取步长，每步迭代误差不超过答案：，9.2用二阶中点格式和二阶休恩格式求初值问题的数值解(取步长，运算过程中保留五位小数)答案：用二阶中点格式，取初值计算得时，时，用二阶休恩格式，取初值计算得时，时，9.3用如下四步四阶阿达姆斯显格式求初值问题在上的数值解取步长，小数点后保留位答案：，9.4为使二阶中点公式，求解初值问题绝对稳定，试求步长的大小应受到的限制条件答案：9.5用如下反复迭代的欧拉预估校正格式，求解初值问题时，如何选择步长，使上述格式关于的迭代收敛答案：时上述格式关于的迭代是收敛的9.6 求系数，使求解初值问题的如下隐式二步法的误差阶尽可能高，并指出其阶数答案：系数为，此时方法的局部截断误差阶最高，为五阶9.7试用欧拉预估校正法求解初值问题，取步长，小数点后至少保留六位答案：由初值可计算得，

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