平面几何讲座26题(含答案)
15页1、 .wd.1.在中,平分交于,如图,垂足为,为垂足。是中点,是中点。假设的外接圆与的另一个交点为。求证:、四点共圆。.证明:作AQ延长线交BC于N,那么Q为AN中点,又M为AC中点,所以QM/BC.所以.同理, . 所以QM PM.又因为共圆. 所以.所以.所以P、H、B、C四点共圆. .故.结合,知为HP中垂线,易知,所以O、H、E、M四点共圆.2.ABCDPENM如图,在中,的内切圆与切于点,的边上的旁切圆切于点,点是与的交点。求证:、三点共线. 证 设与交于点.因为,所以,.故只需证明,或. 10分如图, 设、分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心,、为切点,那么 , , ABCDPENMO1O2FGIH, .20分又 ,故可设,那么故结论成立 40分3.在中,点分别是三边上的点,点分别是的重心,点分别是的重心。1求证:点共线;2直线共点的充要条件是直线共点。证明:由三点共线得,且,其中,故,所以,所以,共线;2设分别交边于点,且,其中,由1得,由共线得,得,故,轮换得,又由得,故,由轮换得,且,故由塞瓦定理,直线共点的充要条件是直线共点。4.是锐角的一条高,是线段上一点,延长交于点
2、,延长交于点,又与交于点,过点的任意一条直线交线段于点,交线段于点,求证:.如图连接并延长,交过点与平行的直线于.先证明.由塞瓦定理知,又(利用平行线的性质),得,从而又得.再证明,即要证:,设,即上式由于,那么,同理,那么式即证明或,而,又角平分线定理,即,又梅涅劳斯定理,从而,即,式得证.5.设和分别为的外心和内心,的内切圆与边分别相切于点,直线与相交于点,直线与相交于点,点分别为线段的中点,求证:证明:考虑与截线PFD,由梅涅劳斯定理,有,所以为的半周长于是,因此,这样,于是.因为ME是点M到的内切圆的切线长,所以是点M到内切圆的幂,而是点M到外接圆的幂,等式说明点M到到外接圆与内切圆的幂相等,因此点M在外接圆与内切圆的根轴上,同理,点N也在在外接圆与内切圆的根轴上,故.6.O1与O2外切于P,过O2上一点C作O2切线交O1于A、B两点,AP、BP分别与O2交于、,CP与O1交于,连交O1于Q,连AQ交于K,求证:、K三点共线。证明:O1与O2关于P位似,O2CO1,AB,又,在AP上取M使,连交AB于N,AMC,AQ而,延长交AQ于K1,交于K2,K1、K2为同一点,K、K1、
3、K2为同一点,、K三点共线7.圆是的内切圆、是、上的切点,都是圆的直径求证:,共点证:设直线交于过作圆的切线交于显然那么连结,记圆半径为易证、与、分别共圆,那么所以,因为,所以将代入得:同理可知:,此时根据塞瓦逆定理,可知三线共点即共点8.设为直线上顺次排列的五点,是外的一点,连结并延长至,恰使,.求证:.证法一:过作BHAF,交于,那么,又由,故。连结,知,延长分别交于,连结。因为,故、共圆;因为,故、共圆,、五点共圆,故。,故,。证法二:作外接圆,交射线于,那么。又由,知,所以、共圆,记该圆为。下证必在内.用反证法,假设不在内。连结、,那么又,矛盾!于是,在延长线上.,,为切线,为切线,故.9.如图,出三角形ABC中,利M为BC的中点,凜以AM为直径的圆O分别与AC、AB交于D、E两点,凔圆O在D、E两点的切线交于点H,刎证明:证明:设,那么,设,.10.在直角三角形ABC中,它的内切圆分别与边BC,CA,AB相切与点D,E,F,连接AD,与内切圆相交于另一点P,连接PC,PE,PF,求证:证:连接DE,DF,那么BDF是等腰直角三角形于是,故又,所以PFDPDC,所以 又由,所以
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