平面几何讲座26题（含答案）

.wd.1.在中，平分交于，如图，垂足为，为垂足。是中点，是中点。假设的外接圆与的另一个交点为。求证：、四点共圆。.证明：作AQ延长线交BC于N，那么Q为AN中点，又M为AC中点，所以QM/BC.所以.同理， . 所以QM PM.又因为共圆. 所以.所以.所以P、H、B、C四点共圆. .故.结合，知为HP中垂线，易知，所以O、H、E、M四点共圆.2.ABCDPENM如图，在中，的内切圆与切于点，的边上的旁切圆切于点，点是与的交点。求证：、三点共线. 证 设与交于点.因为，所以，.故只需证明，或. 10分如图, 设、分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心，、为切点，那么 ， ， ABCDPENMO1O2FGIH， .20分又 ，故可设，那么故结论成立 40分3.在中，点分别是三边上的点，点分别是的重心，点分别是的重心。1求证：点共线；2直线共点的充要条件是直线共点。证明：由三点共线得，且，其中，故，所以，所以，共线；2设分别交边于点，且，其中，由1得，由共线得，得，故，轮换得，又由得，故，由轮换得，且，故由塞瓦定理，直线共点的充要条件是直线共点。4.是锐角的一条高,是线段上一点,延长交于点,延长交于点,又与交于点,过点的任意一条直线交线段于点,交线段于点,求证:.如图连接并延长，交过点与平行的直线于.先证明.由塞瓦定理知，又(利用平行线的性质)，得，从而又得.再证明，即要证：,设,即上式······由于，那么,同理,那么式即证明或，而,又角平分线定理,即，又梅涅劳斯定理，从而，即,式得证.5.设和分别为的外心和内心，的内切圆与边分别相切于点，直线与相交于点，直线与相交于点，点分别为线段的中点，求证：证明：考虑与截线PFD，由梅涅劳斯定理，有,所以为的半周长于是，因此，这样，于是.因为ME是点M到的内切圆的切线长，所以是点M到内切圆的幂，而是点M到外接圆的幂，等式说明点M到到外接圆与内切圆的幂相等，因此点M在外接圆与内切圆的根轴上，同理，点N也在在外接圆与内切圆的根轴上，故.6.O1与O2外切于P，过O2上一点C作O2切线交O1于A、B两点，AP、BP分别与O2交于、，CP与O1交于，连交O1于Q，连AQ交于K，求证：、K三点共线。证明：O1与O2关于P位似，O2CO1，AB，又，在AP上取M使，连交AB于N，AMC，AQ而，延长交AQ于K1，交于K2，K1、K2为同一点，K、K1、K2为同一点，、K三点共线7.圆是的内切圆、是、上的切点，都是圆的直径求证：，共点证：设直线交于过作圆的切线交于显然那么连结，记圆半径为易证、与、分别共圆，那么所以，因为，所以将代入得：同理可知：，此时根据塞瓦逆定理，可知三线共点即共点8.设为直线上顺次排列的五点,是外的一点,连结并延长至,恰使，.求证：.证法一：过作BHAF，交于，那么，又由，故。连结，知，延长分别交于，连结。因为，故、共圆；因为，故、共圆，、五点共圆，故。，故，。证法二：作外接圆，交射线于，那么。又由，知，所以、共圆，记该圆为。下证必在内.用反证法，假设不在内。连结、,那么又，矛盾！于是，在延长线上.,，为切线，为切线，故.9.如图，出三角形ABC中，利M为BC的中点，凜以AM为直径的圆O分别与AC、AB交于D、E两点，凔圆O在D、E两点的切线交于点H，刎证明：证明：设，那么，设,.10.在直角三角形ABC中，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切与点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连接PC，PE，PF，求证：证：连接DE，DF，那么BDF是等腰直角三角形于是，故又，所以PFDPDC，所以 又由，所以，AFPADF，AEPADE，于是 ，故由得 因为，结合得，EPD EDC，所以，EPD也是等腰三角形，于是，所以，11.如图，圆与外切于点，为两圆的公切线直线交于点、，交于点、，且不经过点和记与的交点为，与的交点为求证：与平行证明：首先指出，以下证明过程是在考虑线段有向性的情况下所写，结果不依赖于图形的位置关系设交直线于点，那么显然、在的一侧，、在的另一侧因为为两圆的公切线，所以由切割线定理得，所以考虑线段有向性，上式可记为 由直线截得； 由直线截得 根据、可得，从而与平行12. 设D是的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N。如果DE=DF，求证：DM=DN .证：对和直线BEP用梅涅劳斯定理得：，对和直线NCP用梅涅劳斯定理得：，对和直线BDC用梅涅劳斯定理得：123式相乘得：，又DE=DF，所以有，所以DM=DN。13.、如图,非等腰的内切圆切于点,直线交外接圆于点,过作交延长线于点.点对边的旁切圆切于点,点对边的旁切圆切于点,过点作交于点,交于点. 求证: (1) 四点共圆; (2) (1)证明:设边长为,那么,又因为,且平分,所以,从而.由此可知,从而四点共圆,(2)因为,所以四点共圆,所以,那么,从而.14.锐角三角形ABC中，O、H分别为外心和垂心,BH交AC于点D,DEOD交AB点E,F异于点A在外接圆上且FH/OD，证明：A,D,E,F四点共圆。证：延长BD交圆于点M，连MO并延长交圆于点N，连NH、FA、FE、FM，由垂心的性质有DM=DH，O为MN的中点，故NH/OD,又由题设FH/OD，因此N、H、F三点共线。而MN为直径，故有MFFN, 又由题设DEOD得MF/DE.而D为RtMFH斜边的中点，故FDE=EDH.因此EAF=BAF=BMF=BDE=EDF.因此A,D,E,F四点共圆。15.如以下列图, 设是的三条高, 且交与点是边上的中点, 的外接圆圆与的外接圆圆交于两点, 直线与圆分别交于另一点 证明: 平分.证：辅助线如以下列图.因为四点共圆, 所以, . 这说明, 点在圆与的根轴上. 因此, 三点共线. 于是, . 从而, 四点共圆. 又, 那么, 即. 因此, . 同理, . 于是, PB/AD/QC. 注意到, . 那么. 从而, 四点共圆. 故. 这说明, PM/AC. 所以, . 同理, . 两式相除并注意到, 得. 那么. 而, 故平分.16.与内切于点，上任一点，弦、切于、，弦过且交于，交于.求证：.证明：连接、，过作的直径交于，设的半径为，的半径为，那么,又,为的内心17.设P是对角线BD上一点，满足，的外接圆与对角线AC交于点E.证明：.提示：.先假设，当时类似可证。延长DE与BC交于点L，连接PL.先证C、D、P、L四点共圆再证B、P、E、L四点共圆故18.如图，圆、圆与圆相交于点，圆和圆的另一个交点为，经过点的一条直线分别交圆、圆于点、，的延长线交圆于点，作交圆于点，再作、分别切圆、圆于、求证：证明：连交圆、圆与分别为、，由相交弦定理及切割线定理得：两式相加得：又，所以：，19.在ABC中，设AD为角平分线，AH为高。分别以AB，AC为直径向外作半圆，AD的垂直平分线与这两个半圆分别交于P和Q。证明D、H、P、Q四点共圆。【解析】记PQ与AB、AC分别交于M和N，记DHP的外接圆与PQ的另一个交点为R，只需证R与Q重合即可。因为A，B，H，P四点共圆，所以(AR,PR)=(PR,DR)=(PH,DH)=(AP,AB)。注：这样标注是为了兼顾点的不同位置关系，角是有向的，但周期为180°从而，(AC,AR)=(AC,PR)-(AR,PR)=(PR,AB)-(AP,AB)=(PR,AP)=(DP,PR)=(DH,HR)=(CH,HR)。因此，A，C，H，R四点共圆，ARC=90°，从而R与Q重合，结论得证。20.如图，的外角的平分线与的外接圆交于点，以为直径的圆分别交，于点、，求证：线段平分的周长.证明：连结、，因，那么，即；又，那么，故为等腰三角形.因，那么.在圆内接四边形中，由托勒密定理得，因，那么，又，那么，所以，即.故，即.从而.21.如图，锐角外心为，直线和分别与边交于点直线交外接圆于点假设求证：是等腰三角形.证明：连接那么又为公共角，所以那么同理：又所以那么共圆.连接，知：等腰和等腰全等.那么所以是等腰三角形.22.如图，圆与圆的半径相等，交于、两点内接于圆，且其垂心在圆上点使得是平行四边形证明：、三线共点设圆、的半径为，中点为，那么、关于对称，与关于对称，因此点在圆上记的外接圆为圆，那么圆的半径为我们证明也在圆上由圆、的半径均为可知、都是菱形记中点为，那么也是的中点，注意到与分别是的垂心与外心，故，即又，所以，又是圆、的一个交点，那么是两圆的另一交点这样、恰是圆、两两的公共弦，由根轴定理知它们三线共点23.如图，四边形是圆外切四边形，内切圆圆心为. 分别是的垂心，求证：四点共线.设对角线与交于点，我们证明五点共线. 这只需证明共线，因为同理会有分别共线.因为，所以共线等价于. 记，并不妨设半径为. 那么由垂心的性质，其中是外接圆的半径. 同理，这样.熟知，再注意到，我们有.故成立.24.如图，以直角直角边为直径作，交斜边于点，连接并延长，交于两点，连接，的外接圆交于另一点. ，求证：. 证明：连接并延长，交于，连接，.在直角中，是直径同理，在直角中，即四点共圆.与重合，即三点共线.又而25.D是ABC内的一点,直线BD与AC交于点E,直线CD与AB交ABCDEF于点F,假设A,E,D,F四点共圆,该圆记为D.证明:无论点D怎样变