系统中的牛顿第二定律及其在整体法中的应用

1、 系统中牛顿第二定律及其在整体法中的应用 一、创新拓展若系统由2个物体组成，两物体受到的外力分别为1，2,两物体的质量分别为1，2，对应的加速度分别为1，2,.该系统受到的合外力为，则对两个物体用牛顿第二定律有：1=m1 a1 , F2= m2 a2, 上式两边相加得：F1+F2=m1 a1+ m2 a2 即F= m1 a1+ m2 a2 这就是系统中的牛顿第二定律的数学表达式，其表述为：系统受到的合外力等于系统内各物体的质量与其加速度乘积的矢量和。其正交分解的表达式为：Fx =m1 a1x +m2 a2x ；Fy =m1 a1y +m2 a2y . 若系统内有n个物体，则系统中的牛顿第二第律的数学表达式为：F =m1 a1 +m2 a2 +mn an 或正交分解式为Fx =m1 a1x +m2 a2x +mn anx ； Fy =m1 a1y +m2 a2y +mn any 二、应用范例整体法是物理中常用的一种思维方法。它是将几个物体看作一个整体来作为研究对象即系统，这样就暂时回避了这些物体间的相互作用的内力，只考虑整体受到的外力，整体法列出的方程数目较少，解题变的简明快捷。但运用整

2、体法的条件是暂不求物体间的相互作用力，各个物体的加速度要相同，没有相对运动。当各个物体的加速度不相同时，运用整体法求解就遇到了困难。由于系统中的牛顿第二定律对系统中的物体无论有无相对运动，都可以求解，不受各个物体的加速度一定相同的限制。对于由多个物体组成的系统，如果所求问题暂不涉及或不涉及系统内的作用力，系统中只有一个物体有加速度，而其它物体无加速度（静止或匀速），或者多个物体的加速度在同一直线上，不会出现繁琐的矢量运算时，可以运用系统中的牛顿第二定律求解。故系统中的牛顿第二定律在原整体法的基础上使解题的范围扩大，给整体法赋予了新的生命力，对于解答多体动力学问题，简单方便，迅速准确，能起到出奇制胜的效果。1） 系统中一个物体有加速度，其它物体无加速度 例1如图1中A为电磁铁，C为胶木称盘，A和C（包括支架）的总质量为M，B为铁片，质量为m，整个装置用轻绳悬挂于O点，当电磁铁通电，铁片被吸引上升的过程中，轻绳上的拉力F的大小为：AF=mg B mg F （M+m）g解析：因为题中不涉及求A、 B、 C之间的相互作用力，故可采用整体法把 A A、 B、 C作为系统进行研究。系统受到绳子向上

3、的拉力F和向下的总重力（M+m）g 。 A 和C的加速度为0，设B上升的加速度为a，则根椐系统中的牛 C顿第二定律有：图1 F-（M+m）g=M0+ma解得F=（M+m）g+ma 故选项D是正确的 m 例2质量为M=10Kg的斜面体静置于粗造水平面上，与水平面之间的动摩擦因 素为0. 02，斜面倾角=30。 有一质量m=10kg的物体由静止开始沿斜面下滑如图2， a M当滑行路程s=1. 4m时,v=1.4m/s .在这过程中斜面体没有动，求地面对斜面的静摩擦 力和支持力的大小（g=10m/s2） 图2 解析：由于题中所求的是斜面与地面间作用力，而不是m 、M之间的作用力，故可以采用整 体法把m 、M作为研究系统，运用系统中的牛顿第二定律求解。系统受重力（M+m）g，支持力N 和摩擦力f，如图3所示。由于斜面体没动，则其加速度为0，设物体沿斜 面下滑的加速度为a，由系统中牛顿第二定律的正交分解式得： N Fx =f=macos +M0 x f a Fy =（M+m）g N=masin +M0 （M+m）g 由运动学公式可得 图3 Y v2 =2as 代入数据由以上三式解得：f=0. 6

4、1N N=109.65N 例3 如图3A所示，在置于地面的电机上距轴O为r处，固定一个质量为m的铁块。电机起动后 铁块以角速度w绕轴匀速转动，则电机对地面的最大压力和最小压力之差为多少？ r O解析：本题求电动机对地面的最大压力和最小压力之差，并不涉及铁块和电机的相互作用，电动 机不动，加速度为0，因此可采用整体法，把铁块和电机看作系统，应用系统中牛顿第二定律求解。系统受重力和支持力如图3B所示，当铁块通过最低点时： NN1-（M+m）g=mw2 r+M0当铁块通过最高点时： （M+m）:.（M+m）g-N2=mw2 r+M0由以上两式解得：（M+m）gN1 N2= 2mw2 r 图3B图3A由牛顿第三定律知，电机对地面的最大压力和最小压力之差也为2mw 2r 2） 系统中多个物体都有加速度但方向在一条直线上例4质量为m的木块和质量为M的铁块用细线系在一起，它们在深水中匀速下沉，当距水面h距离时将细线剪断，此后木块上升。若木块上升的加速度大小为a1,求铁块下沉的加速度a2为多大？（设铁块未下沉到水底，水的阻力不计）解析：以m 、M为研究系统，由初始条件可知，木块和铁块受到的总浮力和总重

5、力大小相等，方向相反。剪断细线后，浮力与重力都不变，故系统的合外力仍然为0，由系统中的牛顿第二定律有：F =0=ma1 Ma2 解得 a2 = ma1 /M例5 如图5所示，将A 、B两个物体穿在光滑的水平杆上，并用一根细线连接，已知mA = mB = 4g ，水平杆长30cm，AB间距离为20cm，B物体贴在框架上，当框架以角速度W=20rad/s绕中心轴转动时，求框架对B物体作用力F的大小？解析：因为题目不涉及A、B间的作用力，故可把A、B看作系统。系统受到的重力和杆对它的支持力平衡，框架对B物体的作用力F就是系统受到的合外力，并选其为正方向，由系统中牛顿第二定律有：AAAAAAAAAAAAF = mB aB +mA aA = mB w2 rB mA w2 rA =0. 004202（0.15 0 .05）N =0 .16N图5例6在光滑绝缘水平面上固定有a b c三个质量相等的带电小球，三个小球处在同一直线上，如图5所示，选取向右的方向为正方向。若同时释放三个小球时，a球的初始加速度为-1m/s2 ，c球的初始加速度为3m/s2 ，求b球的初始加速度。解析：因为题中a、 b、 c

6、小球的电性、电量、之距都未知且不要求求它们间的相互作用力，加速度又在一条直线上，故可把a、 b、 c三小球看作一个整体，用系统中牛顿第二定律求解肯定是非常方便的。系统受到重力和地面对它的支持力平衡，小球间的静电力属于内力不需考虑，所以系统受到的合外力为0。由系统中的牛顿第二定律有： ab c0 =ma1 +ma2 +ma3 即a 1+a2+ a3 =0代入数据得 a2 = - 2m/s图5三、名师小结首先要树立整体法的思想或意识，不管是否能用整体法,只要题目中涉及到两个或两个以上的物体就应该想到整体法，先整体后隔离，整体与隔离相结合；其次要分析是否能用系统中牛顿第二定律求解即如果所求问题暂不涉及或不涉及系统内的作用力，系统中只有一个物体有加速度，而其它物体无加速度（静止或匀速），或者多个物体的加速度在同一直线上，不会出现繁琐的矢量运算时，就可以运用系统中的牛顿第二定律求解。四、误区点拔.用系统中牛顿第二定律解决多体动力学问题时，其一要正确分析系统受到的外力而不考虑内力如例5中不考虑A、B间作用力，其二要正确分析系统内各物体加速度的大小和方向，选正方向后，要注意加速度的正负如例5中aA为

7、负。五、反馈训练1、 如图6所示，质量为m的滑块Q，沿质量为M的斜面P匀速下滑，斜面P静止在水平地面上，则在滑块Q下滑过程中，地面对斜面的（ ）A 摩擦力方向向右，支持力大小为（M+m）gB 摩擦力为0，支持力大小为（M+m）g图6C摩擦力为0，支持力小于（M+m）gD摩擦力方向向右，支持力小于（M+m）g 、 如图7所示，质量为M的框架放在水平地面上，一轻弹簧上端固定在框架上，下端固定一个质量为m的小球。小球上下振动时，框架始终没有跳起，当框架对地面压力为0的瞬间，小球的加速度大小为（ ） A g B （M-m）g/m C 0 D （M+m）g/m 、 如图8所示，在倾角为的光滑斜面上放一块上表面粗糙，下表面光滑的木板，木板质量为M，质量为m的人在木板上应怎样奔跑时，才可使木板不动？ 图7图84、一内壁光滑的环行圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比圆管的半径大得多）。在圆管中有两个直径与圆管内径相同的小球（可视为质点），A球的质量为m1，B球的质量为m2，它们沿环形圆管顺时针转动，经过最低点时的速度都是V0。设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与V0应满足的关系是参考答案1 提示以

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