立体几何与空间向量知识点归纳总结

1、立体几何与空间向量知识点归纳总结一、立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征(1) 棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形， 且相 邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。棱柱的性质：侧面都是平行四边形；侧棱都平行，侧棱长都相等。直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。(2) 棱锥的定义：有一个面是多边形， 其余各面都是三角形， 由这些面围成的几何体 叫棱 锥。棱柱的性质：平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的 比。(3) 棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。棱台的性质：上下底面平行且是相似的多边形；侧面是梯形；侧棱交于原棱锥的顶点。(4) 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。圆柱的性质：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧 面展开图是一个矩形。(5) 圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴 圆 ,旋转一周所围成的几何体叫锥。圆锥的性质：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。(6

2、) 圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴 叫 ,旋转一周所围成的几何体 圆台。圆台的性质：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇环形。轴，(7)球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转 半圆面旋转一周形围成的几何体 叫球。球的性质：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、柱体、锥体、台体的表面积与体积(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。(2)特殊几何体表面积公式(C为底面周长，h为高，h为斜高，I为母线)S直棱柱侧面积=chS圆柱侧=2兀讪S正棱锥侧面积绻锥侧面积二兀S正棱台侧面积-(Ci+1 ,C2)h肝台侧面积(r + R)兀】S =21)圆柱表 对(+(3)柱体、锥体、八Sh对(+S圆锥表=兀丫 (r+l)台体的体积公式V圆柱二SIh VVShS圆台表=r2中r】中Rl + R2)V圆锥二订让必3V 台 J(S3+7SS+S)hV 圆台=/(S + 届+S)h=*r 名 R + R)h33(4)球体的表面积和体积公式：V球二兀R3 ； S球面=4兀&33、平面及基本性质 公理 1 A ,B ,Aa,Ba二丨匸口公理2若P亡a

3、,P亡P,则acp二a且P亡a公理3不共线三点确定一个平面(推论 1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行 直线) 4、空间两直线的位置关系共面直线：相交、平行(公理 4)异面直线5、异面直线(1) 对定义的理解：不存在平面 a,使得aua且bua(2) 判定：反证法(否定相交和平行即共面) 判定定理：f5( 3)求异面直线所成的角：平移法即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角f r I a b |兀向量法COST =|cos ca,b :丨二八(注意异面直线所成角的范围(0,|a|b|2(4)证明异面直线垂直，通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；向量法a丄bu ab=O(5)求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题 计算.6、直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系aua,a/a,aca = A2、直线与平面平行的判定b a I(1) 判定定理：b/a = b/a (线线平行，则线面平行Fl?) au oj(2) 面面平行的性质:aS3、直线与平面平行的性质a/P (面面平行，则线面平行)a/a,a up etc P =b J=a/b线

4、面平行，则线线平行 P18)18 直线与平面垂直的判定4、直线与平面垂直的定义的逆用I丄m,丨丄判定定理：m,n匚a丄a （线线垂直，则线面垂直F23）a/b &丄&（ F25练习第6题）a丄PP51 )（4）面面垂直的性质定理：amp=I&丄卩（面面垂直，则线面垂直au a,a 丄 Ij面面平行是性质：5、射影长定理 6、三垂线定理及逆定线垂影台线垂斜理7 两个平面的位置关系： 空间两个平面的位置关系 相交和平行、8、两个平面平行的判定（1）判定定理：a/：，b/=a/P（线线平行，则面面平行a,b0,acb = FF ）19（2）丄;=ot/P垂直于同一平面的两个平面平行 I丄P（3） a /Y，P/Y二a/ P 平行于同一平面的两个平面平行（P练习第2题）219、两个平面平行的性质（1）性质 1：a/ P ,a匚aB Lab （面面平行，则线线（2 ）面面平行的性质定理：平行F20）(3)性质 2: a /P,l 丄 a=l 丄 P10、两个平面垂直的判定与性质判定定理：a丄P,aua=aP (线面垂直，则面面垂直 F50)(2) 性质定理：面面垂直的性质定理:= a丄P (面面

5、垂直，则线面垂直P51 )12、 空间角：异面直线所成角(9.1)；斜线与平面所成的角TT-(0,；(1)求作法(即射影转化法)：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足(2)向量法：设平面a的法向量为n，则直线AB与平面a所成的角为0,则兀(0,-)，P26 例 4 P28 第 6 题f | AB -n |sin 8 斗 cos =AB| n|(3) 两个重要结论最小角定理P : cos日COS COS824813、空间距离：求距离的一般方法和步骤(1) 找出或作出有关的距离;(2) 证明它符合定义;(3) 在平面图形内计算(通常是解三角形)求点到面的距离常用的两种方法(1)等体积法一一构造恰当的三棱锥;(2)向量法一一求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度:直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解异面直线的距离定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段）n为垂直于两异面直向量法i （ A , B分别为两异面直线上任意一点,|n|线的向量）注意理解应用：A = m2 + n2+d22mncos日、空间向量知识点b0E1、空间向量

6、的加法和减法:求两个向量差的运算称为向量的减法, 它遵循三角形法则即：在空间任取一点T呻Lt円彳呻0,作 0 血二a , OB =b，贝 0 E 血二a-b （2求两个向量和的运算称为向量的加法:在空间以同一点0为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形OACE,则以0起点的对角线冷就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.2、实数a与空间向量a的乘积洛是一个向量，称为向量的数乘运算 当几0时，几a与a方向相同；当几V0时，入a与a方向相反；当入=0时，/a为零向量，记为0 几a的长度是a的长度的几倍.3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量 称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线.4、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a, : （1工0 ）, a/：的充要条件是存在实数几，使a 5、平行于同一个平面的向量称为 共面向 6、向量共面定理：空间一点p位于平面AEC内的充要条件是存在有序实数对x, y,使碑夕UE穴；或对空间任一定点0,有齐=飞；或若 四点 P , ； V, E, C 共面，贝 y 0 P x b 却+ 0

7、zE（C 力 ylyz + -7、已知两个非零向量a和b ,在空间任取一点0，作0&二a , 0E =b ,_Ib的夹角，记作a,b两个向量夹角的取值范 记作a丄b则旬知称个非零向量&和匕，则Acos弘b称为a, b的数量积，记a b作是:b即即呜疋3 cosa,b零向量与任何向量的数量积为08o、对于两个1a零长度a与ab和在a向量sZ互垂直积11、若a, b为非零向量，e为单位向量，则有1) e a=a e=iacosa,e；(2丄匕=ia ba (a 与 bI) 呻呻423 )a b =4 -I ， a a Ta-jaljb (6与向)反向)5 ) a b兰b耳4a12、空间向量基本定理：若三个向量a, b, c不共面，则对空间任一向量p,存在实数组x, y, z，使44筲P = xa +yb + ZC 得13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底斗T 14、设e, e , e3为有公共起点o的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以:，:,03的公共起点0为原点分别以e1 .e2的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz 则(6)T T彳

8、Ta/ 二 A /b呻a (8 ) cosa, b4b H0g (曰)ia二ja,、a首衣；+b Jx2 +%2 +才 Jx； +y； +z；对于空间任意一个向量P，定可以把它平移，使它的起点与原点0重 合，得到向量hp $ 存在有序实数组x,y,z，使得P= Xle+ 1 : Z把X , y称作向量P在单位正交基底el ,；，:下的坐标，记作P= (x,y,z ) 此时，向量P的坐标是点P在空间直角坐标 系Oxyz中的坐标(X, y,z).15、设 a =(Xi,yi,Zi ), b=(X2,y2,Z2)，则 (1 ) a +b =(Xi +X2,yi +丫 2,乙 +Z2 )(2 ) a b =(人x?,% 丫 2,乙一 Z2) ha =(几 N, kyi,)b为非零向量,4 4(4)a b=XiX2 +yiy2+NZ212 =a丄 bu a b=0u 飞y,y + z Z = 0 -21(9 )A(Xi, yi,Zi ), B = (X2,y2,Z2 ),则= AEi| =dx 2X1 )恥 y -丸1 - 216、空间中平面a的位置可以由a内的两条相交直线来确定设这两 条 相交直线相交于点0,它们的方向向量分别为a , bP为平面a上 任意 一点，存在有序实数对(x, y使得0p = xa中yb，这样点0与向量2 , b就 确定了平面僅的位置 17、直线I垂直，取直线I的方向向量a，则向量a称为平面a的法18、若空间不重合两条直线a， b的方向向量分别为a， b，则ab= 1/U19. u a 丄 nu an=0au a/na =Zn .20、若空间不重合的两个平面a，p的法向量分别为a，b，则a / P 二 a /b =44Za = Zb , aP 二a 丄 b=ab=0 I21、设异面直线a , b的夹角为e，方向向量为a，b，其夹角为W，贝J有 COS0

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