高中数学平面图形折叠问题的解法
6页1、 平面图形折叠问题的解法1展示问题,引入课题.在立体几何中常涉及平面图形的折叠问题,它也是数学高考中的热点问题之一,今年的浙江高考的理科试卷客观题中得分率最低的是其中的第17题,许多考生花了不少时间,最终没有得到正确的结论,它恰是一个平面图形的折叠问题;我们这节课要讨论的话题就是平面图形的折叠问题;下面请我们的嘉宾闪亮登场!2009年高考浙江卷的第17题是:如图,在长方形中,为的中点,为线段(端点除外)上一动点现将沿折起,使平面平面在平面内过点作,为垂足设,则的取值范围是 2研讨解法,总结规律.师生研讨这个问题的常规解法,并总结解决平面图形折叠问题的解题要点分析1:当点确定时,不难发现折叠以后的立体图也随之确定, 若令,则,且可以表示成关于的函数,再求出函数的值域,即可得到的取值范围解法1:由题意可知,二面角是直二面角,又,所以平面,作于,连结,则,故在折叠前,三点共线,因此问题又可回归到平面图形之中,设,则,和中,所以,所以,故,所以.评注:解决本题的关键是目标函数的建立,如何把表示成关于的函数,即如何得到关于和的方程;由于折叠前后仅仅是与四边形的相对位置发生了变化,因此和的大小在折
2、叠前后是不变的,上述解法的可取之处是在找关于和的方程时,完全回归到平面图图形中进行由此总结解决平面图形折叠问题要特别关注的要点是(师生讨论总结):(1)注意折叠前后的对照,弄清楚折叠前后那些量及位置关系没有改变,那些已经改变.(2)注意充分发挥平面图形的作用.即在具体计算时尽可能在平面图形中进行.3转换视角,优化解法. 启发学生从不同的视角看这个问题,得到一些新的解法,并交流讨论,大致还有以下三种解法:分析:注意到立体图形中,平面,因此可以点为原点建立空间坐标系,用坐标法解之解法2:在空间图形中,建立空间直角坐标系如图,设则,所以,由于,所以,即,故有 评注:本解法的基本思路与解法一本质上相同,即用目标函数法解之,仅仅是使用的工具不同而已,其关键是“发现”仍是直解三角形.分析3:由于的大小确定时,点也随之确定,折叠后的立体图形也确定了,因此也可以选择为目标函数的变量解法3:设,则,设折叠后,则,由于二面角是直二面角,所以,即,所以,由于点在线段上(不包括端点),所以,从而有评注:本解法之所以比前面给出的解法简单,其主要原因是我们选择了一个“好的变量”,通常情况下,在用目标函数法解立体几
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