高中数学平面图形折叠问题的解法

平面图形折叠问题的解法1展示问题，引入课题.在立体几何中常涉及平面图形的折叠问题，它也是数学高考中的热点问题之一，今年的浙江高考的理科试卷客观题中得分率最低的是其中的第17题，许多考生花了不少时间，最终没有得到正确的结论，它恰是一个平面图形的折叠问题；我们这节课要讨论的话题就是平面图形的折叠问题；下面请我们的嘉宾闪亮登场！2009年高考浙江卷的第17题是:如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使平面平面在平面内过点作，为垂足设，则的取值范围是 2研讨解法，总结规律.师生研讨这个问题的常规解法,并总结解决平面图形折叠问题的解题要点分析1：当点确定时,不难发现折叠以后的立体图也随之确定, 若令,则,且可以表示成关于的函数,再求出函数的值域,即可得到的取值范围解法1：由题意可知,二面角是直二面角,又,所以平面,作于,连结,则,故在折叠前,三点共线,因此问题又可回归到平面图形之中,设,则,和中,所以，所以，故，所以.评注：解决本题的关键是目标函数的建立，如何把表示成关于的函数，即如何得到关于和的方程；由于折叠前后仅仅是与四边形的相对位置发生了变化，因此和的大小在折叠前后是不变的，上述解法的可取之处是在找关于和的方程时，完全回归到平面图图形中进行由此总结解决平面图形折叠问题要特别关注的要点是（师生讨论总结）：(1)注意折叠前后的对照,弄清楚折叠前后那些量及位置关系没有改变,那些已经改变.(2)注意充分发挥平面图形的作用.即在具体计算时尽可能在平面图形中进行.3转换视角，优化解法. 启发学生从不同的视角看这个问题,得到一些新的解法,并交流讨论,大致还有以下三种解法：分析：注意到立体图形中，平面，因此可以点为原点建立空间坐标系，用坐标法解之解法2：在空间图形中,建立空间直角坐标系如图,设则,所以,由于,所以,即,故有 评注：本解法的基本思路与解法一本质上相同,即用目标函数法解之,仅仅是使用的工具不同而已,其关键是“发现”仍是直解三角形.分析3：由于的大小确定时，点也随之确定，折叠后的立体图形也确定了，因此也可以选择为目标函数的变量解法3：设，则，设折叠后，则，由于二面角是直二面角,所以，即，所以，由于点在线段上（不包括端点），所以，从而有评注：本解法之所以比前面给出的解法简单，其主要原因是我们选择了一个“好的变量”，通常情况下，在用目标函数法解立体几何范围问题时，选择角的大小为变量比选择线段长为变量要简捷一些分析4：注意到本题是填空题，不需要给出运算过程，解法1、2显得过于“隆重”；因此也可用一些“不择手段的手段”解决之，求出极限位置时的参变量的值即可得到结论.解法4：当动点与点重合时，可求得，当动点与点重合时，可求得，所以可猜想的取值范围是评注：虽然这种解法不是很严谨，但也是在应试中不错的选择4顺水推舟，扩大战果我们不难发现,当点的位置确定时,立体图形也完全确定了,所以立体图形中的一些几何量的取值范围也是确定的，因此我们可以通过“复制”原问题的解法求解一些立体图中的几何量的范围问题操作时可先由教师提出问题1，然后由学生发现其它问题；问题1：设二面角的大小为，求的取值范围解答：由解法1可知：为二面角的平面角，,中,由可得 问题2：设直线与平面所成的角为，求的取值范围解答：易见即为直线与平面所成的角为，中,所以，故问题3：求的长的取值范围解答：中，设，则由问题2可知所以，所以问题4：设四棱锥的体积为，求函数的表达式解答：设则由解法可知，且，四边形的面积为，（其中）5改变条件，多方探究 若改变原题的条件，把题设改为：“如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使二面角为直二面角”，请你能设计出几个立体几何问题并给出解答（下面是学生给出的一些问题及解答）问题1:设,求的取值范围. 解答：设,则,且,由于直二面角,即,因为，所以问题2：设,求的取值范围解答:在中, ,设,由问题1可知,由余弦定理可得：,所以问题3：设二面角的大小为,求的取值范围解答：作于,则,作于,连接,则,所以是二面角的平面角,设,则,中,由于，（为锐角）所以,注意到函数是区间上的增函数,由此可得问题4:设异面直线和所成的角为,求的取值范围.解答: 设则,作,则,且即为直线和所成的角为,由于二面角为直二面角,所以,即,所以问题5：设四棱锥的体积为，求函数的表达式.解答:四边形的面积为,作于,则 , (其中)事实上，对于 “点位置”和“二面角的大小”这两个条件中，若两者全部加以固定，则可以编拟出很多个有关立体几何的求值（空间角、空间距离）的计算问题；若两者固定其中之一，则可以编拟出许多有关立体几何的求空间角、空间距离的取值范围的问题6运用折叠，推陈出新.不难发现,在本问题的叙述过程中,就描述了平面图折叠成为立体图形的过程，我们不妨称之为“显性的”平面图形折叠问题；其实在立体几何试题中也有一些题目,在题目中虽然没有平面图形折叠成为立体图的描述，但又可以看成是平面图形的折叠问题，我们不妨称为“隐性的”平面图形折叠问题；对于“隐性的”平面图形折叠问题往往可以包装成“显性的”平面图形折叠问题；请同学们把09年浙江省理科试卷中的立体几何解答题包装成一个平面图形的折叠问题.2009042309浙江卷理科第20题原题：如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点， （1）设是的中点，证明：平面； （2）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离包装成平面图形折叠问题后可叙述为：如图平面四边形中, ,、分别是、的中点，是的中点，今沿对角线把它折成一个直二面角,连接,得到四面体,设点是的中点.(1) 证明：平面.（2）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离作业：请自己编拟一个平面图形的折叠问题，并给出解答；并解答你的同桌编拟的问题1