居余马线性代数第三章课后习题
41页1、第三章 课后习题及解答将1,2题中的向量表示成的线性组合:12解:设存在使得,整理得解得所以.设存在 使得,整理得,.解得 所以.判断3,4题中的向量组的线性相关性:3. 4. 解: 3.设存在 使得,即 ,由,解得不全为零,故线性相关.4.设存在 使得,即可解得不全为零,故线性相关.线性相关和线性无关的条件.解:设存在使得,若,要使,当且仅当,故,单个向量线性无关的充要条件是;相反,单个向量线性相关的充要条件是.6.证明:如果向量组线性无关,则向量组的任一部分组都线性无关.证:设向量组线性无关,利用反证法,假设存在该向量组的某一部分组线性相关,则向量组线性相关,与向量组线性无关矛盾,所以该命题成立.7.证明:若线性无关,则也线性无关.证:方法一,设存在使得,整理得,因为线性无关,所以,可解得,故线性无关.方法二,因为,又因为,且线性无关,所以向量组的秩为2,故线性无关.和其中 是分别在的个分量后任意添加个分量所组成的维向量,证明:(1) 若线性无关,则线性无关;(2) 若线性相关,则线性相关.证:证法1,(1)设,因为线性无关,所以齐次线性方程只有零解,即 且,线性无关.证法2,因为
2、线性无关,所以齐次线性方程只有零解,再增加方程的个数,得,该方程也只有零解,所以线性无关.(2) 利用反证法可证得,即假设线性无关,再由(1)得线性无关,与线性相关矛盾.9. 证明:线性无关的充分必要条件是线性无关.证:方法1,()=()因为线性无关,且,可得的秩为3所以线性无关.线性无关;反之也成立.方法2,充分性,设线性无关,证明线性无关.设存在使得,整理得,因为线性无关,所以,可解得,所以线性无关.必要性,(方法1)设线性无关,证明线性无关,假设线性相关,则中至少有一向量可由其余两个向量线性表示,不妨设线性表示,则向量组可由线性表示,且,所以线性相关,与线性无关矛盾,故线性无关.方法2,令,设存在使得,由得,代入得,即因为线性无关,所以可解得,所以线性无关.10.下列说法是否正确?如正确,证明之;如不正确,举反例:(1)线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关;解:不正确,必要条件成立,充分条件不成立,例:2维向量空间不在一条直线的3个向量,虽然两两线性无关,但这3个向量线性相关。设,两两线性无关,而线性相关.(2)线性相关的充分必要条件是有个向量线性相关;解:不正确,充分条
3、件成立,但必要条件不成立,例:设,线性相关,而 俩两两线性无关.(3) 若线性相关,线性相关,则有不全为零的数,使得且,从而使得,故线性相关.解:不正确,因为线性相关和线性相关,不一定存在同一组不全为零的数,使得和成立;或者说存在两组不全为零的数和使得和成立.(4). 若线性无关,则线性无关.解:不正确,因为取1,1,1这组常数,使得,所以线性相关.(5) 若线性无关,则线性无关;解:不正确,因为线性相关,由9题,为奇数个时,线性无关,为偶数时,线性相关.(6). 若线性相关,则线性相关;解:正确,因为线性相关,所以中至少有一向量可由剩余的个向量线性表示,则也可由那剩余的个向量线性表示,再因为,所以线性相关.线性相关,但其中任意3个向量都线性无关,证明必存在一组全不为零的数,使得.证:因为线性相关,所以存在不全为零的常数,使得,假设,则,得;同样方法可证得都不为零.所以该命题成立.线性无关,证明:线性无关的充分必要条件是不能由线性表示.证:必要性,假设能由,则线性相关与线性无关矛盾,故不能由线性表示.充分性,设存在使得,若,则能由线性表出,矛盾,所以,因此,又因为线性无关,所以,故,线
4、性无关.13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示:(1) (2);(3)解:(1)=所以,向量组的秩为3,为一个极大线性无关组,.(2)类似(1),可求得向量组的秩为3,为一个极大线性无关组,且,.(3)类似(1),可求得向量组的秩为3,为一个极大线性无关组,.14.设向量组:(1)证明线性无关;(2)求向量组包含的极大线性无关组.(1)证:设存在,使得,求得,所以线性无关;(2)解, ,所以,为包含的一个极大线性无关组.皆为阶矩阵,证明:(1)秩;(2)秩,为任意阶矩阵.证:(1)设,则存在阶可逆矩阵,使得从而则 秩秩(2)因为秩,所以秩.证:设分别为矩阵,将按列分块,则有的列向量组可由的列向量组线性表示,故的列秩的列秩=,同样,将按行分块,得,因此,该命题成立.1. 设分别为矩阵,且,证明:齐次线性方程组有非零解.证:由,所以,故齐次线性方程组有非零解.是一个矩阵,是由的前行构成的矩阵.证明:若的行向量组的秩为,则.证:设 ,.设,于是,的行向量组的极大线性无关组含个向量。因此,的行向量组的一个极大线性无关组是向量组的一个子集,所以它所含向
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