三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质55627

1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用1. O是ABC的重心 OA OBOC 0；是 ABC的重心,S AOCS AOBAB COA OBPGOC 0;F(G为ABC的重心.2. O是ABC的垂心 OA OBOB OC OC0A ；若0是ABC （非直角三角形）的垂心,BOC -AOC -S AOB tanA : ta nB : tan故 tan AOA tan BOBtan COC 03. O是ABC的外心|OA|OB|2| 0C 1(或 OA2OB2OC)ABCS boc: S aoc: S aob sin BOC sin AOC sinAOB sin2A : sin2B:sin2C故 sin2AOA sin 2BOB sin2COC 0O 是 内 心ABCOA (-AB A)OB -(-BABC ) OC| AB | AC|BA | |BC |(卫.CB ) 0|CA | |CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3 ,则刚才O是ABC内心的充要条件可以写成OA (e1 e3) OB (e1e2)OC (e2 e3)ABC内心的充要

2、条件也可以是aOA bOB cOC 0。若O是ABC的内心，则BOC -S AOC : S AOB a: b: c故 aOA bOB cOC 0或 sinAOA sin BOB sin COC | AB|PC |Bc |pA |CA|PB 0 P 是 ABC 的内心；向量0）所在直线过 ABC的内心（是分线所在直线）；（一）将平面向量与三角形内心结合考查0；BAC的角平例1 . O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OAAB AC、(AB )，AC0,则P点的轨迹一定通过 ABC的（ ）-# -（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为-AB是向量aB的单位向量设aB与aC方向上的单位向量分别为 q和e2 , 又阴OP OA AP，则原式可化为 AP （e e2），由菱形的基本性质知 AP平分 BAC，那么在 ABC 中，AP平分 BAC，则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2. H是厶ABC所在平面内任一点，ha HB HB HC HC HA 点H是厶ABC的垂心.由 HA HB HB HC HB (HC HA) 0 H

3、B AC 0 HB AC ,同理HC AB，HA BC.故H是厶ABC勺垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是厶ABC所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA，则P是厶ABC的 （ D ）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析：由 PA PB PB PC 得 PA PB PB PC 0.即 PB （PA PC） 0,即 PB CA 0AD为BC边上的中则PB CA,同理PA BC,PC AB 所以P为 ABC的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4. G是厶ABC所在平面内一点，GA GB GC =0 点6是厶ABC的重心.证明 作图如右，图中 GB GC GE连结BE和CE贝U CE=GB BE=GC BGCE平行四边形 D是BC的中点, 线将 GB GC GE 代入 GA GB GC =0,得GA EG =0 GA GE 2GD，故6是厶ABC勺重心.(反之亦然(证略)4-、 亠-例5.P是厶ABC所在平面内任一点.6是厶ABC的重心PG -(PA PB PC).3证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG)

4、 (PA PB PC)/ 6是厶 ABC的重心 /. GA GB GC =0 AG BG CG =0，即卩 3PG PA PB PC由此可得PG -（PA PB PC）.（反之亦然（证略）3例6若O为ABC内一点,oC0，则O是ABC的（A.内心B .夕卜心C.垂心解析：由oA OB 0C 0得OB 0CoB oC oD，由平行四边形性质知oEoA，如图以OB 0C为相邻两边构作平行四边形,I*OD， OA 2OE,同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。OA lOBI loC，则 O 是 ABC 的(（四）将平面向量与三角形外心结合考查 例7若0为ABC内一点，A.内心B .外心C .垂心D .重心解析：由向量模的定义知 O到ABC的三顶点距离相等。故O是ABC的外心 ，选Bo（五）将平面向量与三角形四心结合考查例 8.已知向量 or，OP2，OP3 满足条件 or +OP2 +OP3 =0，| or |=| OP21=| OP3 |=1，求证 P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题）证明 由已知OPi + OP2 =- OP3，两边平方得 OPi

5、 OP2 =-，2同理 OP2 OP3 =OP3 OP1 =-，2I P1P2 |=| P2P3 |=| P3P1 |= 3，从而 PiF2F3是正三角形.反之，若点O是正三角形 P1P2P3的中心，则显然有OP1 +OP2 +OP3 =0且| OP1 | = | OP2 | = | OP3 |.即O是厶ABC所在平面内一点，OP1 +OP2 +OP3 =0 且 | OP1 | = | OP2 | = | OP3 | 点 0 是正 P1P2P3 的中心.例9.在 ABC中，已知Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证： 线，且 QG:GH=1:2【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系 （X1,0 ）、C（X2,y 2），D E、D（且0）、E& X22G （&乞严）T 3 3BC （X2 X1,y2）BCAH ?BC2 .ah1F分别为AB BC AC的中点，则有: 九、L/X2 y2）由题设可设2（X22)、F(2(X24),QFy4X2(X2X2(X2 X1)X1)y2G H三点共A(0,0)、BXX1 y22 2:qF aCqF?aC x2(X

6、r 争y2(芽 y3)2y3X2(X2Xi)qH(X2X1,y42y3)(2x2 x123X2(X2 Xi) y22y22)X 2 X13X12y3)(2x 263X1 y2 X2(X2 X1)2y23x2(x2 x1)y2、1/2x2 Xi(2x2 Xi(6,=1qH3即QHUqG，故Q G H三点共线，且QG3x2(x26y22y2GH=1： 2例10.若 O H分别是 ABC的外心和垂心.求证OH OA OB OC .证明 若厶ABC的垂心为H,外心为O,如图. 连BO并延长交外接圆于D,连结AD，CD AD AB , CD BC.又垂心为 H, AH BC , CH AB , AH/ CD CH/ AD,四边形AHC助平行四边形， AH DC DO OC，故 OH OA AH OA OB OC .X1) Y2)2)著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、(1) 三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”，(2) 三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的 距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如

7、下的向量问题.例11. 设O G重心、垂心的位置关系:H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心.求证 OG - OH3证明按重心定理G是厶 ABC的重心 OG 1(OA OB3OC)按垂心定理 OHOA OB OC由此可得 OG1 -1OH .3“重心”的向量风采【命题1】G是厶ABC所在平面上的一点，若GC 0 ,则G是厶ABC的重心.如图.*图已知0是平面上一定点,图A, B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足【命题2】Op OA （AB AC），（0，），则P的轨迹一定通过 ABC的重心.【解析】由题意AP （AB AC）定点，当（0,）时，由于（ZB aC）表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点 P的轨迹一定通过 ABC的重心，如图.“垂心”的向量风采【命题3】P是厶ABC所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA，贝U P是厶ABC的垂心.可证【解析】 由 pA PB PB PC，得 PB （pA pC） 0，即 PB CA pC丄AB，pA丄bC . P是厶ABC的垂心.如图.0，所以pB丄cA .同理1B图IB【命题4】 已知0是平面上一定点， A B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足oP oA定点（0，），则动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心.cosCC【解析】 由题意AC cosCHACBC 0，cosBcosC0,所以aP表示垂直于eC的向量，即P点在过点A且al0 ,图I，则由题意得(a b c)IA bAB cAC【解析】二 AI与箝分别为AB和AC方向上的单位向量,垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心，如图.三、“内心”的向量风米【命题5】 已知IABC所在平面上的一点，且AB c , AC b , BC a .若CC 0，则I是厶ABC的内心.P满足Op OAACAB，(0,)，则动点P的轨迹一定通过 ABC的内心.【解析】由题意得AP，二当(0，)时,AP表示 BAC的平分线所力与/ BAC平分线共线，即AI平分 BAC .同理可证：BI平分 ABC，Cl平分 ACB .从而I是厶ABC的内心，如图.定点【命

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