高数二期复习C解
5页1、二期复习C解一、填空(每空2分,共20分)1函数z=arcsin+ln的定义域是 4x2+y29 2若点(,1)是函数z=y2lnx+a(x+y)+b(xy)的一种极值点,则a= 2(ln21) ,b= 2(ln2+1) 3函数z=ln(x2+y3)在点(1,1)处的全微分dz=4设f(x,y)=,则fx(0,0)= 1 ,fy(0,0)= 0 5若非零向量、满足=,则必有()及()(徐230题)由得,即、向量在向量上的投影相似:,从而可知只是满足等式的充足条件,并非必要条件即满足的所有、向量,必使成立故必有由得,即,从而 6已知收敛,则=1()7已知=,其中D:x2+y2a2,则a=()二、计算及证明(共80分)1(7)判断级数的敛散性解显然级数是正项级数 ,且因=1,故级数收敛, 收敛2(7)求幂级数x2n的和函数,并求的和解 |=|x2|=0, R=+ s(x)=x2n=(x2n+1)=x(x2)n=(x)=(2x2+1),|x|+ =s()=23(7)将f(x)=ln(x24x+3)展成x的幂级数解 f(x)=ln(x24x+3)=ln(1x)(3x)=ln(1x)+ln(3x
2、)=ln(1x)+ln3+ln(1) ln(1x)=,(1x1),ln(1)=,(3x3) f(x)=ln(x24x+3)=ln3+),(1x于是I=(2)将两已知球面化为球面坐标方程后,交线处与z轴的夹角为=于是I=;(3)令f(x,y,z)=1,则V=2 由于积分区域内有奇点,故必须先用积分曲线代入化简去掉奇点后才干用green公式.7(7)求,L:,方向为正向解 原式=08(8)计算对坐标的曲面积分I=,其中是上半球面z=,取上侧解 记1:z=0,取下侧则I=-=+002+a2a2=+a2=9(10)设f(x)为可微分函数,且满足f(x)=ex+求:f(x)解对所给方程变形得f(x)=ex+x两边有关x求导得f(x)=ex+xf(x)xf(x)=ex再求导得f (x)=exf(x)即f (x)+f(x)=ex这是二阶常系数线性微分方程,设y=f(x),其相应齐次方程的特性方程及特性根为r2+1=0,r=i齐次的通解为Y=C1cosx+C2sinx因其自由项为ex,m=0,=1,且=1不是特性单根,故设其特解为y*=Aex代入方程得A+A=1即A=于是其特解为y*=ex故y=Y+y*=C1cosx+C2sinx+ex注意到f(0)=1,f(0)=1,得C1=C2=从而所求函数为f(x)=(cosx+sinx+ex)10(7)求曲线在点P(1,1,1)处的切线及法平面方程解 曲线的切向量为=在点P(1,1,1)处的切向量为(1,1,1)=,故切线为,法平面为16(x1)+9(y1)(z1)=0
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