例谈几何中的最短路线问题
3页1、例谈几何中的最短路线问题几何中的最短路线问题是中考热点之一,往往与两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称、勾股定理息息相关。现举例分析如下:一、两点之间,线段最短。如图:一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶,M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄,当汽车行驶到什么位置时,到村庄M、N的距离之和最短?析:连接MN,线段MN与直线AB的交点P4即为所求。二、直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短。 一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶,M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄,当汽车行驶到什么位置时距村庄M最近?行驶到什么位置时距村庄N最近?析:分别过M、N两点向直线AB做垂线段,垂足分别是P1、P2,P1、P2即为所求。三、两点之间,线段最短与轴对称相结合;一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶,若村庄M、N在公路AB的同侧,当汽车行驶到什么位置时,到村庄M、N的距离之和最短?析:过N点,做直线AB的对称点N,连接MN,线段MN与直线AB的交点P5,P5即为所求。变式:如图,A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷。请你帮他确定这
2、一天的最短路线。析:过A点做关于草地MN对称点A,过B点做关于河L对称点B,连接AB,与草地MN交于P1,与河L交于P2,顺次连接A、P1、P2、B,即为所求。四、两点之间,线段最短与勾股定理相结合。(1)台阶问题 如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?析:展开图如图所示,AB=cm(2)圆柱问题 有一圆形油罐底面圆的周长为24m,高为6m,一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物,它爬行的最短路线长为多少?析:展开图如图所示,AB=m变式1:有一圆柱形油罐,已知油罐周长是12m,高AB是5m,要从点A处开始绕油罐一周建造梯子,正好到达A点的正上方B处,问梯子最短有多长?ABABc析:展开图如图所示,AB=m变式2: 桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖),高为12厘米,底面周长18厘米,在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖,一只小虫从桌上爬至杯子外壁,当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时,突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。析:展开图如图所示,做A点关于杯口的对称点A。则BA=厘米(3)正方体问题 如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是( ). (A)3 (B) (C)2 (D)1析:展开图如图所示,AB=(4)长方体问题 如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示),问怎样走路线最短?最短路线长为多少?析:展开图如图所示, 路线1即为所求。长、宽、高中,较短的两条边的和作为一条直角边,最长的边作为另一条直角边, 斜边长即为最短路线长。
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