福建师范大学2021年8月《近世代数》作业考核试题及答案参考8
7页1、福建师范大学2021年8月近世代数作业考核试题及答案(参考)1. 从数集1,2,20中选3个数的集合。如果没有2个相连的数字在同一个集合中,那么能够形成多少3个数的集合?从数集1,2,20中选3个数的集合。如果没有2个相连的数字在同一个集合中,那么能够形成多少3个数的集合?设g(20,3)为这样3个数的集合数。对每个这样的集合,或者含有20或者不含20,如果含有20,则另两个元素在1,2,18中选且不相连,有种选法。如果不含20,则三个元素均在1,2,19中选且无2个数相连,这样集合数为g(19,3)。因此 同样,g(19,3)个集合又可分为包含19与不包含19两类,则 因此 2. 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线设直线的方向向量为n,则可取 再在直线上取一点,例如,可令z=0,得 于是,直线的对称式方程 参数式方程为 3. 对于下列修正的Newton公式 设f(x*)=0,f(x*)0 试证明:该方法至少是二阶收敛的对于下列修正的Newton公式设f(x*)=0,f(x*)0试证明:该方法至少是二阶收敛的证明 设 因为f(x*)=0 且f(x*)0 所以x
2、*是f(x)=0的单根 所以在xk与xk+f(xk)之间 f(x+f(x)-f(x)=f()f()f(x) 因为 且 所以所以迭代法收敛于x* 因为 所以 所以修正的Newton法至少二阶收敛 4. 求直线l1:与直线l2:的公垂线方程求直线l1:与直线l2:的公垂线方程根据题意知公垂线的方向向量可取 , l1与公垂线所确定平面1的法向量为 , 点(9,-2,0)在平面1上,故1的方程为 -16(x-9)-27(y+2)-17(z-0)=0, 即 16x+27y+17z-90=0. 同理,l2与公垂线所确定平面H2的法向量为 , 点(0,-7,7)在平面2上,故2的方程为 58(x-0)+6(y+7)+31(z-7)=0, 即 58x+6y+31z-175=0. 1与2的交线即为l1与l2的公垂线,故公垂线方程为 5. 在一批灯泡中作寿命试验,其结果如下表: 寿命(t) 0,100 100,200 200,300 300,+在一批灯泡中作寿命试验,其结果如下表:寿命(t)0,100100,200200,300300,+个数121734358在=0.05下,检验假设H0:灯泡寿命服从指数
3、分布待检假设H0:Xf(x),当H0为真时,可算得 查表得 由n=300,p1=0.394,p2=0.239,p3=0.145,p4=0.222,列2检验计算表如下表所示: 区间 fi pi npi fi-npi frac(f_i-np_i)2np_i 0,100) 121 0.394 118.2 2.8 0.0663 100,200) 78 0.239 71.7 6.3 0.553 200,300) 43 0.145 43.5 -0.5 0.006 300,+) 58 0.222 66.6 -8.6 1.111 算得 经比较知2=1.736,故接受H0,认为灯泡寿命服从指数分布 6. R2与样本相关系数有什么关系?R2与样本相关系数有什么关系?如记x1,xn与y1,yn)的样本相关系数为rxy,即 则有关系R2=(rxy)2 事实上,因 所以 因此R2=1,对应着|rxy|=1,x与y有最大线性相关;R2=0,x与y无线性相关关系但用rxy说明回归直线的拟合程度需慎重,例如当rxy=0.5时,只能推出R2=0.25,也就是说回归的变异只能解释响应变量变异的,而不是一半! 7. 求平面
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