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2023年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试卷真题

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22023 年重庆预赛一、填空题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）1.设集合5x+y|1 x y 中的最大元素与最小元素分别为 M,N，则 MN=2.设 f(x)是二次函数，且 2x24x+3 f(x)3x26x+4，f(3)=11，则 f(5)=3.若实数 x,y 满足 4x22xy+2y2=1，则 3x2+xy+y2的最大值与最小值的和为4.一只蚂蚁在正方体 ABCD EFGH 的顶点 A 处，每次等概率地爬行到相邻三个顶点中的一个，那么六次爬行之后回到顶点 A 处的概率为5.设,R，且满足 sin cos+|cos sin|=sin|cos|+|sin|cos，则(tan sin)2+(cot cos)2的最小值为6.双曲线x2a2y216=1 的左、右焦点分别为 A,B，P 是双曲线上一点，若 PAB 的内切圆圆心为 I(3,1)，则 PAB 外接圆的半径为7.已知复数 z 满足|z|=1，则|z3+z2 5z+3|的最大值为8.棱长为2 的正四面体 ABCD 中，已知#AP=12#AB，#AQ=13#AC，#AR=14#AD若点 K 为BCD 的重心，则四面体 KPQR 的体积为522023 年重庆预赛二、解答题（本题满分 56 分）9.（本题满分 16 分）设 x,y,z 0，且 x+y+z=2，证明：3x+8xy+16xyz 12，并指出其中“=”成立的条件10.（本题满分 20 分）已知为正实数，数列 an 满足：a1=13，an+1=2a2n4a2n 2an+1，n=1,2,3,若对任意的 m N，都有mXk=1ak b 1）的离心率为23，以其左顶点 K 为圆心，6 为半径作圆 K，圆 K 交椭圆于 A,B 两点，且线段 AB 中点的横坐标为 32(1)求椭圆 C 的方程；(2)圆 K 交直线 x=92于 C,D 两点，点 P 在线段 CD 上，过点 P 作椭圆的两条不同切线PE,PF（E,F 为切点），求 PEF 面积的取值范围6

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