2023年天津考研数学二试题(含答案)

1、烦恼多多少少，放松必不可少；给自己一个微笑，迎来的将是一片美好！20232023 年天津考研数学二试题及答案 一、选择题：1 1 1 10 0 小题,每小题 5 5 分，共 5050 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.1ln(e)1yxx 的斜渐近线为()A.eyx B.1eyx C.yx D.1eyx【答案】B.【解析】由已知1ln e1yxx，则 1limlimln elne11xxyxx，11limlimln elimln e111xxxyxxxxxx 1limln elne1xxx 1lim ln 1e(1)xxx 1lime(1)exxx，所以斜渐近线为1eyx.故选 B.2.函数21,0()1(1)cos,0 xf xxxx x的一个原函数为（）.A2ln1,0()(1)cossin,0 xxxF xxxx x 烦恼多多少少，放松必不可少；给自己一个微笑，迎来的将是一片美好！B2ln11,0()(1)cossin,0 xxxF xxxx x C2ln1,0()(1)sincos,0 xxxF xxxx

2、x D2ln11,0()(1)sincos,0 xxxF xxxx x【答案】D.【解析】由已知00lim()lim()(0)1xxf xf xf，即()f x连续.所以()F x在0 x处连续且可导，排除 A，C.又0 x时，(1)cossin cos(1)sincos(1)sinxxxxxxxxx，排除 B.故选 D.3.设数列,nnxy满足111111,sin,22nnnnxyxxyy,当n时().A.nx是ny的高阶无穷小 B.ny是nx的高阶无穷小 C.nx是ny的等价无穷小 D.nx是ny的同阶但非等价无 穷小【答案】B.【解析】在0,2中，2sin xx，从而12sinnnnxxx.又112nnyy，从而 1111122444nnnnnnnnyyyyxxxx，所以11lim0nnnyx.故选 B.烦恼多多少少，放松必不可少；给自己一个微笑，迎来的将是一片美好！4.若0yayby的通解在(,)上有界，这（）.A.0,0ab B.0,0ab C.0,0ab D.0,0ab【答案】D【解析】微分方程0yayby的特征方程为20rarb.若240ab，则通解为2221244()e

3、(cossin)22axbabay xCxCx；若240ab，则通解为2244222212()eeab aab axxy xCC ；若240ab，则通解为212()()eaxy xCC x.由于()y x在(,)上有界，若02a，则中x 时通解无界，若02a，则中x时通解无界，故0a.0a时，若0b，则1,2rb i，通解为12()(cossin)y xCbxCbx，在(,)上有界.0a时，若0b，则1,2rb，通解为12()eebxbxy xCC，在(,)上无界.综上可得0a，0b.故选 D.5.设函数()yf x由参数方程2|sinxttytt确定，则().A.()f x连续，(0)f 不存在 B.(0)f 存在，()fx在0 x处不连续 C.()fx连续，(0)f 不存在 D.(0)f 存在，()fx在0 x处不连续【答案】C【解析】00limlim|sin0(0)xtytty，故()f x在0 x连续.00()(0)|sin(0)limlim02|xtf xfttfxtt.烦恼多多少少，放松必不可少；给自己一个微笑，迎来的将是一片美好！sincos,03()()00()sinc

4、os0tttty tfxtx ttttt 0t 时，0 x；0t 时，0 x；0t 时，0 x，故()fx在0 x连续.00sincos0()(0)23(0)limlim39xttttfxffxt,00()(0)sincos0(0)limlim2xtfxftttfxt,故(0)f 不存在.故选 C.6.若函数121()(ln)fdxxx在0=处取得最小值，则0=()A.1ln(ln2)B.ln(ln2)C.1ln2 D.ln2 【答案】A.【解析】已知112221d(ln)111()d(ln)(ln)(ln)(ln2)aaaaxf axxxxxaa，则 2111 lnln2111()lnln2(ln2)(ln2)(ln2)aaafaaaaa ，令()0fa，解得01.lnln2a 故选 A.7.设函数2()()exf xxa.若()f x没有极值点,但曲线()yf x有拐点,则a的取值范围是().A.0,1)B.1,)C.1,2)D.2,)【答案】C.烦恼多多少少，放松必不可少；给自己一个微笑，迎来的将是一片美好！【解析】由于()f x没有极值点,但曲线()yf x有拐点，则2()(2

5、)exfxxxa有两个相等的实根或者没有实根，2()(42)exfxxxa有两个不相等的实根.于是知440,164(2)0,aa解得12a.故选 C.8.,A B 为可逆矩阵，E为单位阵，*M为M的伴随矩阵，则*AEOB A.*|A BB AOB A B.*|B AA BOA B C.*|B AB AOA B D.*|A BA BOB|A【答案】B【解析】由于*|AEAEAEEOA BOOBOBOBOEOA B，故*1|AEAEA BOOBOBOA B 1111|A BOAA BOA BOB 1111|A ABA AB BOBA B*|ABA BOBA.故选 B.9.222123121323(,)()()4()f x x xxxxxxx的规范形为 A.2212yy B.2212yy C.2221234yyy D.222123yyy【答案】B 烦恼多多少少，放松必不可少；给自己一个微笑，迎来的将是一片美好！【解析】222123121323(,)()()4()f x x xxxxxxx 222123121 323233228xxxx xx xx x，二次型的矩阵为211134143A，21

6、1210|134(7)131143141 AE 210(7)210(7)(3)0141 ，1233,7,0，故规范形为2212yy，故选 B.10.已知向量组121212212,1,5,03191 ，若 既可由12,线性表示，又可由12,线性表示，则()A.33,4kkR B.35,10kkR C.11,2kkR D.15,8kkR 【答案】D【解析】设11223142kkkk，则11223142kkkk0，对关于1234,k kk k的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，121212211003(,)2150010131910011A ，解得TTTT1234(,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k kCCCC C，故 烦恼多多少少，放松必不可少；给自己一个微笑，迎来的将是一片美好！11221211(3 3)(1)5(1)5,8(1)8CkkCCCkkRC .故选 D.二、填空题：11161116 小题,每小题 5 5 分,共 3030 分.请将答案写在答题纸指定位置上.11当0 x时，2()ln(1)f xaxbxx与2()ecosxg xx是等价无穷

7、小，则ab_.【答案】2【解析】由题意可知，2200()ln(1)1limlim()ecosxxxf xaxbxxg xx222022221()2lim11+()1()2xaxbxxxo xxo xxo x 220221(1)()()2lim3()2xaxbxo xxo x，于是1310,22ab，即1,2ab，从而2ab.12.曲线233dtxyt的孤长为_.【答案】433【解析】曲线233dtxyt的孤长为 3332223331d1 3d4yxxxx dx 32024x dx 2sin2330022cos d2sin8cosdxtttt t301 cos282tdt 3014sin22tt433.13.设函数(,)zz x y由方程e2zxzxy确定，则22(1,1)xz_.【答案】32【解析】将点(1,1)带入原方程，得0z.烦恼多多少少，放松必不可少；给自己一个微笑，迎来的将是一片美好！方程e2zxzxy两边对x求偏导，得e2zzzzxxx，两边再对x求偏导，得22222ee20zzzzzzxxxxx，将1,1,0 xyz代入以上两式，得(1,1)1zx，22(1,1)32xz

8、.14.曲线35332xyy在1x 对应点处的法线斜率为_.【答案】119【解析】当1x 时，1y.方程35332xyy两边对x求导，得2429(56)xyyy，将1x，1y 代入，得 9(1)11y.于是曲线35332xyy在1x 对应点处的法线斜率为119.15.设连续函数()f x满足(2)()f xf xx，20()d0f x x，则31()df x x_.【答案】12【解析】332312110101()d()d()d()d()d()df x xf x xf x xf x xf x xf x x 3120()d()df x xf x x11120001(2)d()dd2xtf ttf x xx x.16.13123123121,0,20,2axxxaxxxxaxaxbx 有 解，其 中,a b为 常 数，若0111412aaa，则11120aaab_.【答案】8 【解 析】方 程 组 有 解，则0111101110|122 11012001202aaaaaaaabaab A，故烦恼多多少少，放松必不可少；给自己一个微笑，迎来的将是一片美好！111280aaab.三、解答题：17

9、221722 小题,共 7070 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分 10 分）设曲线):(e()L yyxx经过点2(e,0)，L上仸一点(,)P x y到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距，()求()y x；()在 L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.【解】()曲线L在点(,)P x y处的切线方程为()()Yyy x Xx，令0X，则切线在y轴 上 的 截 距 为()Yyxy x，则()xyxy x，即11yyx，解 得()(l n)y xx Cx，其中C为仸意常数.又2(e)0y，则2C，故()(2ln)y xxx.()设曲线L在点(,(2ln)x xx处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln)(1 ln)()Yxxx Xx.令0Y，则ln1xXx；令0X，则Yx.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22 ln12(ln1)xxS xXYxxx，则2(2ln3)()2(ln1)xxS xx.令()0S x，得驻点32ex.当32eex时，()0S x；当32ex 时，()0S x，故(

10、)S x在32ex 处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332(e)eS.烦恼多多少少，放松必不可少；给自己一个微笑，迎来的将是一片美好！18.（本题满分 12 分）求函数2cos(,)e2yxf x yx的极值.【解】由已知条件，有 cos(,)eyxfx yx，cos(,)e(sin)yyfx yxy.令(,)0,(,)0 xyfx yfx y，解得驻点为1,ek，其中k为奇数；(e,)k，其中k为偶数.(,)1xxfx y，cos(,)e(sin)yxyfx yy，cos2cos(,)esinecosyyyyfx yxyxy.在点1,ek处，其中k为奇数，1,1exxAfk，1,0exyBfk，21,eeyyCfk，由于20ACB，故1,ek不是极值点，其中k为奇数.在点(e,)k处，其中k为偶数，(e,)1xxAfk，(e,)0 xyBfk，2(e,)eyyCfk，由于20ACB，且0A，故(e,)k为极小值点，其中k为偶数，且极小值为 2e(e,)2fk.19.（本题满分 12 分）已知平面区域21(,)|0,11Dx yyxxx，（1）求平面区域D的面积S.(2)求平面

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