2023年青海考研数学二试题(含答案)
14页1、烦恼多多少少,放松必不可少;给自己一个微笑,迎来的将是一片美好!2023年青海考研数学二试题及答案一、选择题:110小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 的斜渐近线为( )A.B. C.D.【答案】B.【解析】由已知,则,所以斜渐近线为.故选B.2. 函数的一个原函数为( ).ABCD【答案】D.【解析】由已知,即连续.所以在处连续且可导,排除A,C.又时,排除B.故选D.3.设数列满足,当时( ).A.是的高阶无穷小B.是的高阶无穷小C.是的等价无穷小D.是的同阶但非等价无穷小【答案】B.【解析】在中,从而.又,从而,所以.故选B.4. 若的通解在上有界,这( ).A.B.C.D.【答案】D【解析】微分方程的特征方程为.若 ,则通解为;若,则通解为;若,则通解为.由于在上有界,若,则中时通解无界,若,则中时通解无界,故.时,若 ,则,通解为,在上有界.时,若,则,通解为,在上无界.综上可得,.故选D.5. 设函数由参数方程确定,则( ).A.连续,不存在B.存在,在处不连续C.连续,不存在D
2、.存在,在处不连续【答案】C【解析】,故在连续.时,;时,;时,故在连续.,故不存在.故选C.6. 若函数在处取得最小值,则( )A. B. C. D.【答案】A.【解析】已知,则,令,解得故选A.7.设函数.若没有极值点,但曲线有拐点,则的取值范围是( ).A.B.C.1,2)D. 【答案】C.【解析】由于没有极值点,但曲线有拐点,则有两个相等的实根或者没有实根,有两个不相等的实根.于是知解得.故选C.8. 为可逆矩阵,为单位阵,为的伴随矩阵,则A.B.C.D.【答案】B【解析】由于,故.故选B.9. 的规范形为A.B.C.D.【答案】B【解析】,二次型的矩阵为, ,故规范形为,故选B.10.已知向量组 ,若 既可由 线性表示,又可由线性表示,则( )A.B.C.D.【答案】D【解析】设,则,对关于的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形,解得,故.故选D.二、填空题:1116小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11当时,与是等价无穷小,则_.【答案】【解析】由题意可知,于是,即,从而.12. 曲线的孤长为_.【答案】【解析】曲线的孤长为.13. 设函数由方程确定
3、,则_.【答案】【解析】将点带入原方程,得.方程两边对求偏导,得,两边再对求偏导,得,将代入以上两式,得,.14. 曲线在对应点处的法线斜率为_.【答案】【解析】当时,.方程两边对求导,得,将,代入,得.于是曲线在对应点处的法线斜率为.15. 设连续函数满足,则_.【答案】【解析】.16. 有解,其中为常数,若 ,则_.【答案】 【解析】方程组有解,则 ,故.三、解答题:1722小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)设曲线经过点,上任一点到轴的距离等于该点处的切线在轴上的截距,()求;()在L上求一点,使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小,并求此最小面积.【解】()曲线在点处的切线方程为,令,则切线在轴上的截距为,则,即,解得,其中为任意常数.又,则,故.()设曲线在点处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小,此时切线方程为.令,则;令,则.故切线与两坐标轴所围三角形面积为,则.令,得驻点.当时,;当时,故在处取得极小值,同时也取最小值,且最小值为.18.(本题满分12分)求函数的极值.【解】由已知条件,有,.令,解得驻点为,其中为奇数;,其中为偶数.,.在点处,其中为奇数,由于,故不是极值点,其中为奇数.在点处,其中为偶数,由于,且,故为极小值点,其中为偶数,且极小值为.19.(本题满分12分)已知平面区域,(1)求平面区域的面积.(2)求平面区域绕一周所形成的旋转体的体积.【解】(1).(2) .20.(本题满分12分)设平面区域位于第一象限,由曲线,与直线围成,计算.【解】.21.(本题满分12分)设函数在上有二阶连续导数.(1)证明:若,存在,使得;(2)若在上存在极值,证明:存在,使得.【证明】(1)将在处展开为,其中介于与之间.分别令和,则,两式相加可得,又函数在上有二阶连续导数,由介值定理知存在,使得,即.(2)设在处取得极值,则.将在处展开为,其中介于与之间.分别令和,则,两式相减可得,所以,即.22.(本题满分12分)设矩阵满足对任意的均有.(1)求(2)求可逆矩阵与对角阵,使得.【解】(1)由,得,即方程组对任意的均成立,故.(2),特征值为.,;,;,令 ,则.
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