2021-2022学年北京市丰台区高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年北京市丰台区高一（上）期末数学试卷 试题数：21，总分：150 1.（单选题，4分）已知函数 fx=2x ，那么f（-1）=（　　） A.-2 B.-1 C. −12 D.2 2.（单选题，4分）已知集合A∪B={0，1，2，3，4}，B={1，2，4}，那么集合A可能是（　　） A.{1，2，3} B.{0，1，4} C.{0，1，3} D.{1，3，4} 3.（单选题，4分）已知a，b，c∈R，a＞b，那么下列结论成立的是（　　） A.a2＞b2 B. 1a＜1b C.ac＞bc D.a-c＞b-c 4.（单选题，4分）下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（　　） A. y=x B.y=x3 C.y=|x| D.y=2x 5.（单选题，4分）下列函数中，最小正周期为 π2 的是（　　） A.y=cosx B.y=tanx C.y=cos2x D.y=tan2x 6.（单选题，4分）已知a＞0，那么 2+3a+4a 的最小值是（　　） A. 23 B. 43 C. 2+23 D. 2+43 7.（单选题，4分）已知函数 fx=x+a，x≤0x2，x＞0 ，那么“a=0”是“函数f（x）是增函数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.（单选题，4分）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学研究表明，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M．已知两次地震的能量与里氏震级分别为Ei与Mi（i=1，2），若M2-M1=2，则 E2E1 =（　　） A.103 B.3 C.lg3 D.10-3 9.（单选题，4分）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大． 收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（　　） A.P→A→Q B.P→B→Q C.P→C→Q D.P→D→Q 10.（单选题，4分）将函数f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数 gx=sinx+π6 的图象．若x=0是函数F（x）=f（x）-g（x）的一个零点，则φ的最小值是（　　） A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6 11.（填空题，5分）已知幂函数y=xα的图象经过点（2，8），那么α=___ ． 12.（填空题，5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于坐标原点对称．若 sinα=14 ，则sinβ=___ ． 13.（填空题，5分）已知命题“∀x∈R，ex≥a”是真命题，那么实数a的取值范围是 ___ ． 14.（填空题，5分）函数f（x）=cos2x-2cosx+1的最小值是 ___ ． 15.（填空题，5分）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．现有两名剪纸艺人创作甲、乙两种作品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名艺人下午创作的甲作品数和乙作品数，i=1，2．给出下列四个结论： ① 该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少； ② 该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少； ③ 该天第1名艺人创作的作品总数比第2名艺人创作的作品总数少； ④ 该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少． 其中所有正确结论的序号是 ___ ． 16.（问答题，13分）已知不等式x2+ax+b＜0（a，b∈R）的解集A={x|-1＜x＜2}． （Ⅰ）求实数a，b的值； （Ⅱ）若集合B={x|x＜0}，求A∩B，A∪（∁RB）． 17.（问答题，14分）已知 cosα=−35 ，且α是第二象限角． （Ⅰ）求sinα的值； （Ⅱ）求 sinα+6πcos−αsinπ2+αtanα−π 的值． 18.（问答题，14分）已知函数f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）． （Ⅰ）求函数f（x）的定义域； （Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明； （Ⅲ）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并用定义证明． 19.（问答题，14分）一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍．记x分钟后的病毒所占内存为yKB． （Ⅰ）求y关于x的函数解析式； （Ⅱ）如果病毒占据内存不超过1GB（1GB=210MB，1MB=210KB）时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长． 20.（问答题，15分）已知函数 fx=2sin2x−π4 ，x∈R． （Ⅰ）在用“五点法”作函数f（x）的图象时，列表如下： 2x−π4 π2 π 3π2 2π x 3π8 5π8 9π8 f（x） 2 在答题卡相应位置完成上述表格，并在坐标系中画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象； （Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间； （Ⅲ）求函数f（x）在区间 −π4，π4 上的值域． 21.（问答题，15分）已知n为正整数，集合Mn={（x1，x2，⋯，xn）|xi∈{0，1}，i=1，2，⋯，n}，对于Mn中任意两个元素α=（a1，a2，⋯，an）和β=（b1，b2，⋯，bn），定义：α-β=（|a1-b1|，|a2-b2|，⋯，|an-bn|）；d（α，β）=|a1-b1|+|a2-b2|+⋯+|an-bn|． （Ⅰ）当n=3时，设α=（0，1，0），β=（1，0，0），写出α-β，并计算d（α，β）； （Ⅱ）若集合S满足S⊆M3，且∀α，β∈S，d（α，β）=2，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论； （Ⅲ）若∀α，β∈Mn，且d（α，β）=2，任取γ∈Mn，求d（α-γ，β-γ）的值． 2021-2022学年北京市丰台区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 试题数：21，总分：150 1.（单选题，4分）已知函数 fx=2x ，那么f（-1）=（　　） A.-2 B.-1 C. −12 D.2 【正确答案】：A 【解析】：根据题意，由函数的解析式计算可得答案． 【解答】：解：根据题意，函数 fx=2x ，那么f（-1）= 2−1 =-2， 故选：A． 【点评】：本题考查函数解析式的计算，涉及函数值的计算，属于基础题． 2.（单选题，4分）已知集合A∪B={0，1，2，3，4}，B={1，2，4}，那么集合A可能是（　　） A.{1，2，3} B.{0，1，4} C.{0，1，3} D.{1，3，4} 【正确答案】：C 【解析】：根据题意和并集的运算直接写出A即可． 【解答】：解：因为集合A∪B={0，1，2，3，4}，B={1，2，4}， 所以集合A中必须要有0和3，另外再在1，2，4中加数，也可以不加数， 故选：C． 【点评】：本题考查并集及其运算，属于基础题． 3.（单选题，4分）已知a，b，c∈R，a＞b，那么下列结论成立的是（　　） A.a2＞b2 B. 1a＜1b C.ac＞bc D.a-c＞b-c 【正确答案】：D 【解析】：直接利用不等式的性质和赋值法的应用求出结果． 【解答】：解：对于A：当a=-1，b=-2时，不满足a2＞b2，故A错误； 对于B：当a=0，b=-1时， 1a 无意义，故B错误； 对于C：当c=0时，所以ac=bc，故C错误； 对于D：利用不等式的性质，所以a-c＞b-c，故D正确． 故选：D． 【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 4.（单选题，4分）下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（　　） A. y=x B.y=x3 C.y=|x| D.y=2x 【正确答案】：B 【解析】：由题意只要检验各选项中函数的奇偶性即可判断． 【解答】：解：A：函数定义域（0，+∞）为非奇非偶函数，不符合题意； B：y=x3为奇函数，图象关于原点对称，符合题意； C：y=|x|为偶函数，图象关于y轴对称，不符合题意； D：y=2x为非奇非偶函数，图象关于原点不对称，不符合题意． 故选：B． 【点评】：本题主要考查了函数奇偶性的判断及奇函数性质的应用，属于基础题． 5.（单选题，4分）下列函数中，最小正周期为 π2 的是（　　） A.y=cosx B.y=tanx C.y=cos2x D.y=tan2x 【正确答案】：D 【解析】：由题意利用三角函数的周期性，得出结论． 【解答】：解：由于y=cosx的最小正周期为2π，故排除A； 由于y=tanx的最小正周期为π，故排除B； 由于y=cos2x的最小正周期为π，故排除C； 由于y=tan2x的最小正周期为 π2 ，故D满足条件， 故选：D． 【点评】：本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题． 6.（单选题，4分）已知a＞0，那么 2+3a+4a 的最小值是（　　） A. 23 B. 43 C. 2+23 D. 2+43 【正确答案】：D 【解析】：由题中的条件，利用基本不等式即可解出． 【解答】：解：∵a＞0， ∴2+3a+ 4a ≥2+2 3a×4a =2+4 3 ， 当且仅当3a= 4a 时，取等号． 故选：D． 【点评】：本题考查了不等式的运算，基本不等式，学生的数学运算能力，属于基础题． 7.（单选题，4分）已知函数 fx=x+a，x≤0x2，x＞0 ，那么“a=0”是“函数f（x）是增函数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：A 【解析】：根据充分必要条件的定义进行判断即可． 【解答】：解：当a=0时，f（x）= x，x≤0x2，x＞0 ，此时f（x）为单调增函数，故“a=0”⇒“函数f（x）是增函数”； 若f（x）为增函数，则有a≤0，故由“函数f（x）是增函数”不能推出“a=0”， 所以“a=0”是“函数f（x）是增函数”的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】：本题考查了分段函数的单调性，充分必要条件的判定，属于基础题． 8.（单选题，4分）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学研究表明，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M．已知两次地震的能量与里氏震级分别为Ei与Mi（i=1，2），若M2-M1=2，则 E2E1 =（　　） A.103 B.3 C.lg3 D.10-3 【正确答案】：A 【解析】：利用对数运算法则和指数与对数互化求解． 【解答】：解：由题意得：lgE1=4.8+