湖南省郴州市桂阳东风中学高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省郴州市桂阳东风中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. “”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 参考答案： B 由得。由得，所以“”是“”的必要不充分条件，选B. 2. 图l是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是        A．32、      B．16、      C．12、       D．8、 参考答案： C 略 3. 已知抛物线y2=2px（p＞0），过点C（﹣4，0）作抛物线的两条切线CA，CB，A，B为切点，若直线AB经过抛物线y2=2px的焦点，△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线标准方程是（　　） A．y2=4x B．y2=﹣4x C．y2=8x D．y2=﹣8x 参考答案： D 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】由抛物线的对称性知，AB⊥x轴，且AB是焦点弦，故AB=2p，利用△KAB的面积为24，求出p的值，求得直线AB的方程，即可求得以直线AB为准线的抛物线标准方程． 【解答】解：由抛物线的对称性知，AB⊥x轴，且AB是焦点弦，故丨AB丨=2p， ∴△CAB的面积S=×丨AB丨×d=×2p×（+4）=24，整理得：p2+8p﹣48=0， 解得p=4，或p=﹣12（舍去）， ∴p=4，则抛物线方程y2=8x， ∴AB的方程：x=2， ∴以直线AB为准线的抛物线标准方程y2=﹣8x， 故选D． 4. 集合，，则 A．B．C．D．以上都不对 参考答案： C ， 选C.   5. 设全集为R，集合，，则（    ） A. {0,1} B. {0} C. D. 参考答案： A 【分析】 先求出再求得解. 【详解】由题得, 所以. 故选：A 【点睛】本题主要考查补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 设函数f（x）＝（0≤ x ≤2011π），则函数f（x）的各极大值之和为（  ） A. B.  C.   D. 参考答案： D 略 7. 在中，“”是“”的            （     ） (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件           (D) 既不充分也不必要条件 参考答案： 8. 已知a＝，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　) A．b>c>a                            B．b>a>c C．a>b>c                            D．c>b>a 参考答案： A 9. 已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（　　） A．?x∈R，f（﹣x）≠f（x） B．?x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x） C．?x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0） D．?x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0） 参考答案： C 【考点】全称命题；特称命题． 【分析】根据定义域为R的函数f（x）不是偶函数，可得：?x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；则其否定形式为真命题，可得答案． 【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数， ∴?x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题； ∴?x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）为真命题， 故选：C． 10. 复数等于                                         （    ）        A．-1+i                        B．1+i                         C．-2+2i                      D．2+2i            参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1，若f（x）≥log2t对x∈R恒成立，则t的取值范围为        ． 参考答案： （0，1] 考点：两角和与差的正弦函数． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：先化简函数解析式，f（x）≥log2t恒成立，只需求出f（x）的最小值大于log2t，求出t的范围即可． 解答： 解：f（x）=sin2x﹣cos2x+1=sin（2x﹣）+1， 函数f（x）=sin（2x﹣）+1的最小值为：0，若f（x）≥log2t恒成立，只需0≥log2t恒成立，所以t∈（0，1]． 所以t的取值范围：（0，1]． 故答案为：（0，1]． 点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质，三角函数的化简，恒成立问题的应用，考查计算能力，逻辑推理能力，属于常考题型、基本知识的考查． 12. 若正三棱锥的底面边长为,侧棱长为1,则此三棱锥的体积为________. 参考答案： 13. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，那么它的通项公式为an=          ． 参考答案： 2n 考点：等差数列的前n项和；数列递推式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：由题意知得 ，由此可知数列{an}的通项公式an． 解答： 解：a1=S1=1+1=2， an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+n）﹣ =2n． 当n=1时，2n=2=a1， ∴an=2n． 故答案为：2n． 点评：本题主要考查了利用数列的递推公式an=Sn﹣Sn﹣1求解数列的通项公式，属于基础题． 14. 已知函数，若二次函数满足：①与的图象在点处有公共切线；②是上的单调函数.则=      　　     . 参考答案： 　　　 15. 一个直径等于2的半圆，过作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点,使，为半圆上的一个动点，、分别为在、上的射影。当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值是________________. 参考答案： 略 16. 已知函数，曲线与直线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则的所有可能值为__________． 参考答案： 2或10 【分析】 令，解得或， 根据存在相邻两个交点间的距离为，得到或，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数，曲线与直线相交， 令，即， 解得或， 由题意存在相邻两个交点间的距离为，结合正弦函数的图象与性质， 可得，令，可得，解得. 或，令，可得，解得. 故答案为：2或10. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题. 17. 实数x, y满足,则的最大值是--------_____________. 参考答案： 21     三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2． （Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE； （Ⅱ）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥AF，AD⊥AB，从而AD⊥平面ABEF，由此能证明平面PAD⊥平面ABFE． （Ⅱ）以A 为原点，AB、AE、AD的正方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出h的值． 【解答】证明：（Ⅰ）∵几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成， ∴AD⊥AF，AD⊥AB， 又AF∩AB=A， ∴AD⊥平面ABEF， 又AD?平面PAD， ∴平面PAD⊥平面ABFE． 解：（Ⅱ）以A 为原点，AB、AE、AD的正方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz 设正四棱棱的高为h，AE=AD=2， 则A（0，0，0），F（2，2，0），C（2，0，2），P（1，﹣1，1） 设平面ACF的一个法向量=（x，y，z）， =（2，2，0），=（2，0，2）， 则，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1）， 设平面ACP的一个法向量=（a，b，c）， 则，取b=1，则=（﹣1，1，1+h）， 二面角C﹣AF﹣P的余弦值， ∴|cos＜＞|===， 解得h=1． 　 19. 已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2，a∈R. (1)若a＜0时，试求函数y＝f(x)的单调递减区间； (2)若a＝0，且曲线y＝f(x)在点A、B(A、B不重合)处切线的交点位于直线x＝2上，证明：A、B两点的横坐标之和小于4； (3)如果对于一切x1、x2、x3∈[0,1]，总存在以f(x1)、f(x2)、f(x3)为三边长的三角形试求正实数a的取值范围． 参考答案： (1)函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝3(x＋a) . 因为a＜0，由f′(x)＜0，解得＜x＜－a. 所以函数y＝f(x)的单调递减区间为.(3分) (2)当a＝0时，f(x)＝x3＋2. 设在点A(x1，x＋2)，B(x2，x＋2)处的切线交于直线x＝2上一点P(2，t)． 因为y′＝3x2，所以曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为k＝3x， 所以，在点A处的切线方程为y－(x＋2)＝3x(x－x1)． 因为切线过点P，所以t－(x＋2)＝3x(2－x1)，即2x－6x＋(t－2)＝0. 同理可得x－6x＋(t－2)＝0.(5分) 两式相减得2(x－x)－6(x－x)＝0. 即(x1－x2)(x＋x1x2＋x)－3(x1－x2)(x1＋x2)＝0. 因为x1－x2≠0，所以x＋x1x2＋x－3(x1＋x2)＝0. 即(x1＋x2)2－x1x2－3(x1＋x2)＝0.(7分) 单调递增． 20. （本小题满分12分）已知函数的图像过点，且对任意实数都成立，函数与的图像关于原点对称。 ⑴  求与的解析式； ⑵  若—在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围； 参考答案： ⑵ 连续， 即，由上为减函数，当 时取最小值0，故 另解， ，解得 21. 2017年某市开展了“寻找身边的好老师”活动，市六中积极行动，认真落实，通过微信关注评选“身边的好老师”，并对选出的班主任工作年限不同的五位“好老师”的班主任的工作年限和被关注数量进行了统计，得到如下数据： 班主任工作年限x（单位：年） 4 6 8 10 12 被关注数量y（单位：百人） 10 20 40 60 50 （1）若”好老师”的被关注数量y与其班主任的工作年限x满足线性回归方程，试求回归方程=x+，并就此分析：“好老师”的班主任工作年限为15年时被关注的数量； （2）若用（i=1，2，3，4，5）表示统计数据时被关注数量的“即时均值”（四舍五入到整数），从“即时均值”中任选2组，求这2组数据之和小于8的概率．（参考公式： =， =﹣）． 参考答案： 【考点】线性回归方程． 【分析】（1）利用公式求出回归系数，可得回归方程=x+，从而预测班主任工作年限为15年时被关注的数量； （2）确定从5组“即时均值”任选2组、这2组数据之和小于8的基本事件数，即可求出概率． 【解答】解：（1）=8， =36， ==6， =36﹣48=﹣12， ∴=6x﹣12， x=15时， =6×15﹣12=78百人； （2）这5次统计数据，被关注数量的“即时均值”分别为3，3，5，6，4． 从5组“即时均值”任