上海市2023届高三二模暨秋考模拟7数学试题 附答案

2023届高三数学二模暨秋考模拟试卷7 满分150分 时间120分钟 一、填空题（每题5分） 1. 已知集合，若，则的最大值为________； 2. 已知复数等于，则的虚部是________； 3. 在的展开式中，常数项为_________； 4. 已知函数，则不等式的解集是__________； 5. 在中，，点是的中点，则___________； 6. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则_________； 7. 记，则为_________； 8. 若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为_________； 9. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且点在第一象限，若，则椭圆的离心率等于_________； 10. 已知菱形的边长为1，，.当时，__________；当取得最小值时，_________. 11. 若的面积为，且为钝角，则_________；的取值范围是__________. 12. 在棱长为1的正方体中，为底面的中心，，，为线段的中点，则下列命题中正确的序号为__________. ①与共面； ②三棱锥的体积跟的取值无关； ③当时，过三点的平面截正方体所得截面的周长为； ④时，. 二、选择题（每题5分） 13. 已知则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知点在直线上.则当变化时，实数的范围为（ ） A. B. C. D. 15. 在如今这个时代，研究已方兴未艾.2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办.会上传出消息，未来速率有望达到，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天融合的立体网络，预计数据传输速率有望比快100倍，时延达到亚毫秒级水平.香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.若不改变带宽，而将信噪比从9提升至161，则最大信息传递率会提升到原来的（ ） 参考数据：. A. 2.4倍 B. 2.3倍 C. 2.2倍 D. 2.1倍 16. 半径为3的圆的边沿有一点，半径为4的圆的边沿有一点，、两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，、两点再次重合小圆滚动的圈数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（17题10分，其余每题15分） 17. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）在锐角中，，求的取值范围. 18. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； 19. 为了解某地区高中生的每天日间户外活动现状，分别在两所学校随机抽取了部分学生，得到甲校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：）的统计表和乙校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：）的频率分布直方图如下. 乙校抽取的学生每天日间户外活动时间频率分布直方图 组别 每天日间户外活动时间（单位：） 人数 1 120 2 250 3 60 4 70 甲校抽取的学生每天日间户外活动时间统计表 （1）根据图表中的数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间的25%分位数在第几组； （2）已知每天日间户外活动时间不低于可以对保护视力起到积极作用.现从乙校全体学生中随机抽取2人，记其中每天日间户外活动时间不低于的人数为，求的分布列和数学期望； （3）根据上述数据，能否推断甲校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值一定低于乙校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值？说明理由. 20. 已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. （1）求的方程，并说明是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点， ①证明：是直角三角形； ②求面积的最大值. 21. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若，求证：函数只有一个零点，且； （3）当时，记函数的零点为，若对任意且，都有，求实数的最大值. 参考答案 一、填空题 1. 解：因为， 所以，即的最大值为1. 2. 解：因为，所以的虚部是-1. 3. 解：， 令，得，所以常数项是. 4. 解：函数的定义域为. 因为在上为增函数，在上为增函数， 所以在上为增函数， 又，所以不等式的解集为. 5. 解：在中，点是的中点，所以，， 所以. 6. 解：由，得，所以圆心为，半径为1， 双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线的渐近线与圆相切， 所以，化简得，解得或（舍去）. 7. 解：由可判断出为求数列：-1，1，3，5……的和.这个数列是首项为-1，公差的等差数列，所以通项公式为，为其第项.所以. 8. 解：设事件为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件为抽取的一个完成加强免疫接种，所以， 所以在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为. 9. 解：设椭圆的右焦点为，依题意可得， 双曲线的一条渐近线为， 因为，所以， 由，解得，即，又点在椭圆上， 所以，即， 即，即，即， 即，即， 即，即， 即，解得或（舍去）， 所以椭圆方程为，则，所以椭圆的离心率. 10. 解：当时，， ； ， 所以 所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：；. 11. 解：∵， ∴，即， ∴， 则 ∴为钝角，，∴， ∴，，故. 故答案为，. 12. 解：在中，因为为的中点， 所以，所以与共面，所以①正确； 由， 因为到平面的距离为定值，且的面积为定值， 所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以②正确； 当时，取，连接，则，又，所以， 所以共面，即过三点的正方体的截面为， 由，则是等腰梯形，且， 所以平面截正方体所得截面的周长为，所以③正确； 当时，，可得，， 取的中点分别为，连接，则， 在直角三角形中，， 则，所以不成立，所以④不正确. 所以正确的命题序号是①②③. 二、选择题 13. 解：由， 可得或， 即或， 所以由“”推不出“”，由“”可推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 14. 解：∵点在直线上， ∴， ∴，其中， ∵， ∴，即， 解得或. 故选：B. 15. 当时，最大信息传递率， 当时，最大信息传递率， ， 故选：C. 16. 解：设两点再次重合小圆滚动的圈数为，则， 其中， 所以，，则当时，. 故两点再次重合小圆滚动的圈数为4. 故选：D. 三、解答题 17.（1）解：， 由，得， 所以，函数的单调递增区间为. （2）解：由已知可得，解得， ， 因为，则， 所以. 18.（1）证明： 取中点，连接， 因为正三棱柱， 所以，且， 因为为线段的中点， 所以且. 所以且， 因为为中点，所以. 所以且. 所以四边形是平行四边形. 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）解： 分别取中点，连接， 因为是正三棱柱， 所以，平面，. 所以平面. 所以，. 以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则. 所以. 设平面的法向量为， 所以，即， 令，解得，所以. 设直线与平面所成角为，， 则， 所以. 即直线与平面所成角为. 19.（1）根据表中数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间25%分位数在第2组. （2）由频率分布直方图可知，乙校参与调查的学生每天日间户外活动时间不低于的频率为. 由此估计乙校全体学生每天日间户外活动时间不低于的概率约为0.3， 的所有可能取值为0，1，2. ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 0.49 0.42 0.09 （3）不能. 若甲校参与调查的学生每组中的数据恰好都取区间中点值，则甲校参与调查的学生每天的日间户外活动时间的平均值 若乙校参与调查的学生每组中的数据恰好都取相应区间的左端点值，则乙校参与调查的学生每天的日间户外皮活动时间的平均值 此时，. 20. （1），依题意，即，化简得 ，曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点； （2）①依题意可知，直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，与曲线的方程联立得，消去得 . 由于在第一象限，故 . 由于轴，垂直为点，所以. 则， 由，消去得， 所以，而，所以， . 所以.所以， 所以为直角三角形. ②由①知，为直角三角形，且，所以. ， ， 所以， 令，，所以，所以当，即时，取得最大值为 . 21.（1）解：函数的定义域为， 令，则或， 当，即时，， 所以函数在上递增， 当，即时， 或时，，， 所以函数的上递减，在上递增， 当，即时， 或时，，，， 所以函数在上递减，在上递增， 综上所述，当时，函数的增区间为， 当时，函数的减区间为，增区间为， 当时，函数的减区间为，增区间为； （2）证明：当时， 由（1）知，的极小值为，极大值为， 因为，， 且在上是减函数， 所以至多有一个零点. 又因为， 所以函数只有一个零点，且； （3）解：因为， 所以任意且， 由（2）可知且， 因为函数在上是增函数，在上是减函数， 所以，， 所以， 当时，， 所以， 所以的最小值为 ， 所以使得恒成立的的最大值为.