江苏省无锡市高二上学期数学期中考试试卷解析版

高二上学期高二上学期数数学期中考学期中考试试试试卷卷 一、一、单选题单选题 1．过点，的直线的斜率等于 1，则 m 的值为（） A．1B．4C．1 或 3D．1 或 4 2．已知 =(1，0，1)，=(-2，-1，1)， =(3，1，0)，则| -+2 |等于（） A．3B．2C．D．5 3．已知三角形的三个顶点 A（4，3），B（﹣1，2），C（1，﹣3），则△ABC 的高 CD 所在的直线方程是 （） A．5x+y﹣2=0B．x﹣5y﹣16=0C．5x﹣y﹣8=0D．x+5y+14=0 4．已知，，则异面直线与所成角的余弦值为（） A．B．C．D． 5．已知直线 是（） 过定点，点在直线上，则的最小值 A．B．C．D． 6．直线与 轴，轴分别交于点，，以线段为直径的圆的方程为（） A．B． C．D． 7．已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方 程分别为和，则（） A．B．C．D．6 8．已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动 点，则 A．6 的最大值为（）15．圆心在直线上的圆与 轴交于两点，则圆的方程 B．7C．8D．9为． 二、多二、多选题选题 9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ A．两条不重合直线，的方向向量分别是， ） ，则 B.直线的方向向量，平面的法向量是 C.两个不同的平面，的法向量分别是 D.直线的方向向量，平面的法向量是 ，则 ，，则 ，则 10.光线自点射入，经轴反射后经过点 A.B． 11.如图，正方体的棱长为 1， A． B．直线平面 ，则反射光线所在直线还经过下列点（ C．D． 为的中点，为的中点，则（ ） ） C．直线与平面所成角的正弦值为 D．点到平面的距离是 12．已知直线 ：， ：，，以下结论正确的是（） A．不论 为何值时， 与 都互相垂直 B．当 变化时， 与 分别经过定点和 C．不论 为何值时， 与 都关于直线 D．设为坐标原点，如果 与 交于点，则 对称 的最大值是 三、填空三、填空题题 13．经过两条直线 ：， ：的交点，且直线的一个方向向量的直线方程 为 ． 14．已知 A（1，－2，11） 、B（4，2，3） 、C（x，y，15）三点共线，则 xy= .  16.已知，， 大值为 ；最小值为 ． 四、解答四、解答题题 17.已知菱形中，， 1边所在直线的方程； 2对角线所在直线的方程． 三点，点在圆上运动，则的最 ，边所在直线过点．求： 18．如图，是四面体的棱的中点，点在线段 ， （1）若，， 上，点在线段上，且， ，求； （2）试用向量，，表示． 1.已知圆：，其中 1如果圆与圆外切，求的值； 2如果直线与圆相交所得的弦长为 ． ，求的值． 20．如图，某海面上有、、三个小岛（面积大小忽略不计） ， 向处，岛在岛的正东方向处. 岛在岛的北偏东方 1以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系，写 、的坐标，并求、两岛之间的距离； 2已知在经过、、三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方 出 向距岛处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 21．四棱锥中，平面平面，，，， ，，是中点． （1）求平面与平面夹角的余弦值； ， （2）在侧棱上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理 由． 22．已知直线 ：与圆：． （1）求证：直线 过定点，并求出此定点坐标； 2若直线 与圆相切，求直线 的方程； 3设为坐标原点，若直线 与圆交于，两点，且直线 是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． ，的斜率分别为，，试问 答案解析部答案解析部分分 1． 【答案】A 【解析】【解答】由题得。 故答案为：A 【分析】利用两点求斜率公式，从而结合已知条件求出实数 m 的值。 2． 【答案】A 【解析】【解答】因为 =3。 故答案为：A. =(1，0，1)-(-2，-1，1)+(6，2，0)=(3，1，0)+(6，2，0)=(9，3，0)，所以 【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和向量求模公式，进而得出的值。 3． 【答案】A 【解析】【解答】解：由斜率公式可得 kAB= ∵CD⊥AB，∴kCD=﹣5， ∴直线 CD 的方程为：y+3=﹣5（x﹣1）， 化为一般式可得 5x+y﹣2=0． 故选：A． 【分析】由斜率公式可得 AB 的斜率，由垂直关系可得 CD 的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可． 4． 【答案】B 【解析】【解答】。 故答案为：B  【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，进而得出异面直线与所成角的余弦值。 5． 【答案】B 【解析】【解答】直线 点在直线 ，即，过定点， 上，， ， 故当时，取得最小值为， 故答案为：B. 【分析】令直线的参数的系数等于零，求得定点的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性 质，即可求得的最小值. 6． 【答案】A ，【解析】【解答】由直线截距式方程知： 所以中点坐标为，且 所以以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以线段为直径的圆的方程为 化为一般方程为。 故答案为：A. ， ， ， 【分析】由直线截距式方程知点 A，B 的坐标，再利用中点坐标公式得出线段 AB 的中点坐标，再利用两点 距离公式和直径与半径的关系，进而得出以为直径的圆的圆心坐标和半径长， 从而得出以线段为直 径的圆的方程，再转化为圆的一般式方程。 7． 【答案】D 【解析】【解答】与间距离， 与间距离， 又由正方形可知， 即， 解得。 故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合平行直线求距离的方法以及正方形的结构特征，进而得出的值。 8． 【答案】C 【解析】【解答】如图所示， 圆的圆心为，半径为 3，圆关于直线的对称圆为圆 B，其 中设圆心 B 坐标为，则，解得：，故圆 B 的圆心为，半径为 1，由于此 时圆心 A 与圆心 B 的距离为 4，等于两圆的半径之和，所以两圆外切，此时点的对称点为，且 ，所以，在 P 点运动过程中，当 P，B，A，，F 五点共线时，且在 圆 B 左侧，点 F 在圆 A 右侧时，最大，最大值为。 故答案为：C 【分析】利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用圆与圆关于直线对称求解方法，进而得出对称圆 的标准方程，再利用两圆位置关系判断方法判断出两圆外切，此时点的对称点为，且，所以 ，在 P 点运动过程中，当 P，B，A，，F 五点共线时，且在圆 B 左侧，点 F 在 圆 A 右侧时，最大，再利用求和法得出的最大值。 9 ． 【答案】A,C 【解析】【解答】对于 A，两条不重合直线，的方向向量分别是，,且 ，所以，选项正确； 对于 B，直线 l 的方向向量，平面的法向量是且 ，所以或，选项错误；  对于 C，两个不同的平面 α，β 的法向量分别是，，且 ，所以，C 符合题意； 对于 D，直线 l 的方向向量 所以，D 不符合题意. 故答案为：AC ，平面的法向量是且， 【分析】A 中，根据两条不重合直线方向向量共线，判断两直线平行； B 中，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直，判断直线与平面平行或在平面内； C 中，根据两个不同的平面法向量垂直，判断两平面垂直； D 中，根据直线的方向向量与平面的法向量共线，判断直线与平面垂直。 10． 【答案】A,D 【解析】【解答】关于轴的对称点为，则反射光线所在直线经过点和点，则直线 为：，即，代入，则，A 选项正确；代入 ，C 选项错误；代入，则，D 符合题意. ，则，B 不 符合题意；代入，则 故答案为：AD 【分析】利用已知条件结合关于轴的对称求解方法，进而得出对称点的坐标，则反射光线所在直线经 过点和点，再利用两点求斜率公式得出反射直线方程，再利用代入法得出反射光线所在直线所过 点的坐标。 11． 【答案】A,B,D 【解析】【解答】连接，则 所以，A 符合题意； 取 AB 中点为 H，连接 则 EHFC，且 EH＝FC， ，因为为的中点， ， 所以四边形 EHCF 为平行四边形， 所以 EFHC，又 EF⊄平面 ABCD， 所以平面 ABCD，B 符合题意； 因为 EFHC， 所以 EF 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值与 HC 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值相等， 又平面 ABB1A1，所以即为 HC 与平面 ABB1A1 所成的角或补角， 又 CH＝， sin∠CHB ＝ ， 即 EF 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为，C 不符合题意； 设点到平面的距离为 ， 因为， 所以， 解得 h＝， 所以点 B 到平面 A1CD 的距离为，D 符合题意. 故答案为：ABD. 【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征和中点的性质，再利用线线垂直的判断方法、线面平行的判定 定理、线面角的求解方法、正弦函数的定义、三棱锥的体积公式和等体积法求点到平面距离的方法，进而找 出正确的选项。 12． 【答案】A,B,D 【解析】【解答】由于，所以 与 互相垂直，故不论 为何值时， 与 都互相垂直；A 符 合题意； 直 线 ：，当时，，所以恒过点， ：，当时，， 所以恒过点，B 符合题意； 设直线 ：上任意一点，则点 P 关于直线 ，与在直线 ： 的对称点为，将点 代入直线 ，可得：上矛盾，C 不符合题  意； 联立方程组：，解得：故 M 点坐标为，则 ，则的最大值是，D 符合题意. 故答案为：ABD 【分析】利用已知条件结合两直线垂直的判断方法、直线过定点的判断方法、直线与直线关于直线对称的判 断方法、两直线方程联立求交点的方法、两点距离公式、二次函数图象求最值的方法，进而找出结论正确的 选项。 13． 【答案】2x-y-1=0 【解析】【解答】联立直线 与 ，，解得：，直线 ：， ：的交点为 ，又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为 2，故该直线方程为：，即 2x-y- 1=0。 故答案为：2x-y-1=0。 【分析】利用已知条件结合联立两直线方程求交点的方法，再利用方向向量求解方法，进而求出直线的斜 率，再利用点斜式求出直线方程，再转化为直线的一般式方程。 14． 【答案】2 【解析】【解答】由三点共线得向量 ，解得， 【分析】由三点共线得向量与 值，从而得出 xy 的值。 与共线，即 ，∴。 ，， 共线，再利用已知条件结合向量共线的坐标表示，进而得出 x，y 的 15． 【答案】 【解析】【解答】先由条件求得圆心 C 的坐标，再求出半径 r=|AC|，从而得到圆 C 的方程， 因为直线 AB 的中垂线方程为 x=-3，代入直线 x-2y+7=0，得 y=2， 故圆心的坐标为 C（-3，2），再由两点间的距离公式求得半径 r=|AC|= ∴圆 C 的方程为。 故答案为。 【分析】利用已知条件结合中点坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线 AB 的中垂线方程，再 代入直线 x-2y+7=0，得出圆心的坐标，再由两点间的距离公式求得圆的半径长，从而求出圆 C 的标准方程。 16． 【答案】89；65 【解析】【解答】设，则， 故 为，当 故答案为：89，65。 ，当，此时，取得最大值， ，此时，取得最小值，为。 【分析】利用已知条件结合两点距离公式和同角三角函数基本关系式，再利用正弦型函数的图象求最值的方 法，进而得出的最值。 17． 【答案】（1）解：由已知得直线， 又， 边所在直线的方程为：， 即 （2）解：由已知得与 又，且 互相垂直平分， 中点为， ， 所在直线方程为：， 即. 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合两直线平行斜率相等的判断方法，进而结合点斜式求出直线 AD 的方 程，再转化为直线 AD 的一般式方程。 （2） 由已知得与互相垂直平分， 再利用中点坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，进而结合点  斜式方程求出直线 BD 的方程，再转化为直线的一般式方程。 18． 【答案】（1）解：由题意得：，因为 所以 ，，， （2）解：因为是四面体的棱的中点，所以 ，又因为，所以 ，因为，所以 【解析】【分析】 （1） 由题意结合三角形法则得：，再利用，得出 和的长，再利用数量积的运算法则和数量积的定义，进而得出的值。 （2）利用是四面体的棱的中点，再结合平行四边形法则和中点的性质以及 的值 ，得 出，再利用结合三角形法则和向量共线定理以及平面向量基本定理，进而用向量 ，，表示。 19． 【答案】（1）解：圆的圆心为，半径为，若圆与圆外切，故两圆的圆心距等 于两圆半径之和，故，解得： （2）解：圆的圆心到直线的距离为，由垂径定理得： ，解得： 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合两圆外切的位置关系判断方法，进而得出实数 m 的值。 （2）利用已知条件结合直线与圆的位置关系，再结合点到直线的距离公式，得出圆的圆心到直线 的距离，再由垂径定理得出实数 m 的值。 20． 【答案】（1）解：如图所示， 在的东北方向 由两点间的距离公式得 （2）解：设过、、 、 ，在的正东方向，、， （） ； 三点的圆的方程为，将、 代入上式得，解得、、， 所以圆的方程为，圆心为，半径. ，且该船航线所在直线的斜率为，设船起初所在的位置为点，则 由点斜式得船航行方向为直线， 圆心到的距离为， 所以该船有触礁的危险． 【解析】【分析】 （1）利用实际问题的已知条件结合建系求坐标的方法求出两点 A,B 的坐标，再利用两点距离 公式求出、两岛之间的距离。 （2）利用三点求圆的一般式方程的方法，将三点坐标代入圆的一般式方程，从而求出圆的一般式方程，再利 用公式法求出圆的圆心坐标和半径，设船起初所在的位置为点 ，则，且该船航线所在 直线的斜率为 ，由点斜式得船航行方向为直线，再利用点到直线的距离公式求 出圆心到的距离，进而得出该船有触礁的危险． 21． 【答案】（1）解：，是中点， ，且， 又平面平面，且平面平面， ， 所以如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，  令，则，即， 设平面的法向量， 则， 令，则，即， ， 所以平面与平面 （2）解：假设在侧棱 夹角的余弦值为； 上存在点，使得 ， 平面，此时， ， ， ， 平面， ，即， 解得， 因此在侧棱上存在点，当 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合 时，可使得平面. ，是中点，再利用等腰三角形三线合一得出 ，再利用勾股定理得出 PO 的长，再利用平面平面结合面面垂直的性质定理证出线面 垂直，所以平面 ABCD，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向 量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出平面与平面夹角的余弦值。 （2） 假设在侧棱上存在点，使得平面，此时，再利用， 结合向量共线定理以及三角形法则，再结合向量的坐标运算，从而利用平面，得出 ，再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出实数的值，从而 得出在侧棱上存在点，当 2 2．【答案】（1）证明：由直线 ： 时，可使得平面。 ， 得， 联立，解得， 所以直线 恒过定点； （2）解：由圆：，得圆心，半径， 又由（1）得直线 恒过定点， 当直线 斜率不存在时，方程为，直线与圆相切成立， 当直线斜率存在时，设直线 的方程为， 圆心到直线 的距离 由直线与圆相切可得，即， 解得，直线方程为，即 综上所述：直线 的方程为或； ， （3）解：由（2）可得直线斜率一定存在，设直线 的方程为，，， 联立方程，即， ，即， ，， 又，， ， 所以为定值，.  【解析】【分析】 （1） 由直线 ：，得， 得出， 再解方程组求出 x，y 的值，进而证出直线 过定点，并求出此定点坐标。 （2） 由圆的一般式方程得出圆心坐标和半径长，再由（1）得直线 恒过定点，再利用分类讨论的 方法结合直线与圆相切位置关系判断方法，再结合点到直线的距离公式，进而得出直线 l 的斜率，从而用斜截 式方程求出直线 l 的方程，再转化为直线 l 的一般式方程。 （3） 由（2）可得直线斜率一定存在，设直线 的方程为，， 线与圆相交，联立二者方程结合判别式法得出实数 k 的取值范围，再利用韦达定理得出 ，，再利用两点求斜率公式得出为定值，并求出这个定值。 ，再利用直