2022年-高中数学第二章推理与证明.直接证明与间接证明..综合法

1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2022-2022 年高中数学其次章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法教学案新人教 A 版选修 2-2预习课本 P8589,摸索并完成以下问题 1 综合法的定义是什么？有什么特点？2 综合法的推证过程是什么？3 分析法的定义是什么？有什么特点？4 分析法与综合法有什么区分和联系？ 新知初探 1综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、P. Q1 Q1. Q2 Q2. Q3顺推 Qn. Q P 表示已知条件,已有的证法定理等,经过一系列的推理论证,最终或由推导出所要证明的结论成立,这种证明定义、公理、定理等,Q表示所要证明的因导方法叫做综合法结论 . 果法2. 分析法定义逐步寻框图表示特点 第 1 页,共 22 页 从要证明的结论动身,Q. P1 P1. P2逆推细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -

2、- -求使它成立的充分条件,直至 P2. P3 证法最终,把要证明的结论归结为得到一个明显成立的条件或执判定一个明显成立的条件 已果索知条件、 定理、定义、公理等 因法为止这种证明方法叫做分析法3综合法、分析法的区分综合法 分析法推理方向 顺推,由因导果 倒溯,执果索因解题思路 探路较难,易生枝节 简洁探路,利于摸索表述形式 形式简洁,条理清楚 表达繁琐,易出错摸索的侧侧重于已知条件供应的信息 侧重于结论供应的信息重点 点睛 一般来说, 分析法解题方向明确,利于寻求解题思路； 而综合法解题条理清楚,宜于表述 因此在解决问题时,通常以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解题过程 小试身手 1判定 正确的打“ ” ,错误的打“ ” 1 综合法是执果索因的逆推证法 2 分析法就是从结论推向已知 3 全部证明的题目均可使用分析法证明 答案： 1 2 3 22如 ab0,就以下不等式中不正确选项 Aa2abB abbC.1 a1D a 2 b 2b答案： C 细心整理归纳 精选学习资料 3欲证2367成立,只需证 第 2 页,共 22 页 A232672B262372C272362D2

3、36272 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -答案： C 4假如 a abb,就实数 a,b 应满意的条件是_答案： ab 0 综合法的应用 典例 在 ABC中,三边 a,b,c 成等比数列求证：acos2C 2ccos2A 23 2b. 证明 a,b,c 成等比数列,b 2ac. 左边a1 cos C 2c1 cos A 21 2 ac 1 2 acos Cccos A 1 2 ac 2a a 2b2ab 2c2cb2 c 2 a 22bc1 2 ac 1 2bacb 2bb 23 2b右边,acos2C 2ccos2A 23 2b. 当且仅当 ac 时等号成立综合法的解题步骤 活学活用 1已知 a, b,c,dR,求证： acbd证明：左边a 2c2 2abcd b 2d2a 2c 2 a 2d 2b2c2 b 2d2 a2b 2 c2d2 右边,2 a 2 b 2 c 2 d 2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -

4、 - - - - - - - - 第 3 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - ac bd2 a2b 2 c2d2 2设数列 an 满意 a10,1 1an11 1an1. 1 求 an 的通项公式；1an 12 设 bn,Snb1b2 bn,证明： Sn1. n1 1解：1 1 an11an1,11an是公差为 1 的等差数列又1 a1 1,1ann,an11 n. 12 证明：由 1 得bn1an1nn1n1 n1 n1,11111. n1nSnb1b2 bn11211 23nn1n1Sn1. 分析法的应用 典例 设 a,b 为实数,求证：a 2b 22 2 a b 证明 当 ab0 时, a 2b 20,a 2b 22 2 ab 成立当 ab0 时,2用分析法证明如下：要证 a 2b 22 ab ,只需证 a 2 b 2 22 ab 2 2. 1即证 a 2b 22 a 2b 22ab ,即证 a 2b 22 ab. a 2b 22ab 对一切实数恒成立,2 a 2b 22 a

5、b 成立综上所述,不等式得证分析法证明不等式的依据、方法与技巧细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1 解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻 辑推理的基本理论；2 适用范畴：对于一些条件复杂,结构简洁的不等式的证明,常常用综合法而对于 一些条件简洁、结论复杂的不等式的证明,常用分析法；3 思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式动身,逐步寻求使它成立的 充分条件,最终得到的充分条件是已知 或已证 的不等式；4 应用技巧：用分析法证明数学命题时,肯定要恰当地用好“ 要证” 、“ 只需证” 、“ 即证” 等词语 活学活用 已知 a,b, c 都为正实数,求证：a2b2c2abc 3 . a 2b 2c 233证明：要证a 2b 2c 2abc 3,3只需证a2b2c2abc 32,3只需证 3 a2 b 2 c 2 a2b2c22ab2bc2ac,只需

6、证 2 a2 b 2 c 2 2 ab2bc2ac,只需证 a b2 b c2 c a20,而这是明显成立的,所以abc 成立3分析法与综合法的综合应用 典例 已知 a,b,c 是不全相等的正数,且0 x1. 求证： log xab 2log xbc 2log xac 2log xalog xblog xc. 证明 要证明 logxab 2logxbc 2logxa c 2logxalogxblogxc,细心整理归纳 精选学习资料 只需要证明logxab 2bc2aclogx abc , 第 5 页,共 22 页 2由已知 0x1,只需证明ab 2bc2ac 2abc,由公式ab 2ab0,bc 2bc0, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -acac0. 又 a,b,c 是不全相等的正数,2ab 2bc2ac2a 2b 2c 2abc. 即ab 2bc2ac2abc 成立logxab 2logxbc 2logxac 2logxalogxb logxc 成立分析综合法的应用综合法由因导果,分析法执果索因,因此在实际解题时,常常把分析法和综合法结合起来使用,即先利用分析法查找解题思路,再利用综合法有条理地表述解答过程 活学活用 已知 ABC的三个内角A,B,C成等差数列, a,b,c 为三个内角对应的边长,求证：1ab1 bc3 a bc. 证明：要证1 ab1 b c3 abc,即证a bc abab c b c3,即证c aba bc1. 即证 c bc a ab ab bc

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