6-第6练 函数的综合应用新课标试卷
7页1、第6练函数的综合应用一、选择题 1.著名数学家华罗庚先生曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中,我们经常用函数的图象来研究函数的性质,也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征,如某体育品牌的LOGO,可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线,下列函数中,其局部图象大致可“完美”表达这条曲线的是()A. f(x)=sin5x2-x-2xB. f(x)=cosx2x-2-xC. f(x)=cos5x|2x-2-x|D. f(x)=sin5x|2x-2-x|答案C观察题图可知,函数的图象关于y轴对称,A中, f(-x)=sin(-5x)2x-2-x=sin5x2-x-2x=f(x),为偶函数,B中, f(-x)=cos(-x)2-x-2x=cosx2x-2-x=-f(x),为奇函数,C中, f(-x)=cos(-5x)|2-x-2x|=cos5x|2x-2-x|=f(x),为偶函数,D中, f(-x)=sin(-5x)|2-x-2x|=sin5x|2x-2-x|=-f(x),为奇函数,选项B,D中的函数,不符合题意;对选项A而言,当x0,
2、5时, f(x)0,不符合题意,故选C.2.已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足mn,且f(m)=f(n),若f(x)在区间m2,n上的最大值为2,则m,n的值分别为()A.12,2B.12,4C.22,2D.14,4答案Af(x)=|log2x|=log2x,x1,-log2x,0x1.其大致图象如图所示,根据f(m)=f(n)(mn)及f(x)的单调性,知mn=1且0m1.由图象知f(x)max=f(m2),xm2,n.故f(m2)=2,易得m=12,n=2.3.函数f(x)的定义域为D,若对于任意x1,x2D,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),则称函数f(x)在D上为非减函数.设函数f(x)在0,1上为非减函数,且满足以下三个条件:f(0)=0;fx3=12f(x);f(1-x)=1-f(x),则f13+f18=()A.12B.34C.1D.23答案B由可令x=0,可得f(1)=1,由可令x=1,可得f13=12f(1)=12,令x=13,可得f19=12f13=14,由结合f13=12,可知f23=12,令x=23,结合可得f29=12f23=14,因为19
3、1829且函数f(x)在0,1上为非减函数,所以f18=14,所以f13+f18=34,故选B.4.(多选题)记函数f(x)与g(x)的定义域的交集为I.若存在x0I,使得对任意xI,不等式f(x)-g(x)(x-x0)0恒成立,则称(f(x),g(x)构成“M函数对”.下列选项中所给的两个函数能构成“M函数对”的是()A.f(x)=ln x,g(x)=1xB.f(x)=ex,g(x)=exC.f(x)=x3,g(x)=x2D.f(x)=x+1x,g(x)=3x答案AC因为f(x)=ln x在(0,+)上单调递增,g(x)=1x在(0,+)上单调递减,所以f(x)与g(x)在(0,+)上只有一个交点,所以A符合题意;B中,f(x)g(x)在R上恒成立,故B不符合题意;C中,在区间(0,1)上, f(x)g(x),所以存在x0=1,使得对任意xI,不等式f(x)-g(x)(x-x0)0恒成立,所以C符合题意;D中,f(x)=f(x)-g(x)存在两个非零的零点,故D不符合题意.5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有x2f(x1)-x1f(x2)x1-
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