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《二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题》
12页1、二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数1(2014北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x2+mx+n经过点A(0,2),B(3,4)(1)求抛物线的表达式及对称轴;(2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A,B之间的部分为图象G(包含A,B两点)若直线CD 与图象G有公共点,结合函数图象,求点D纵坐标t的取值范围考点:待定系数法求二次函数解析式;待定系数法求一次函数解析式;二次函数的最值专题:计算题分析:(1)将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值,确定出抛物线解析式,求出对称轴即可;(2)由题意确定出C坐标,以及二次函数的最小值,确定出D纵坐标的最小值,求出直线BC解析式,令x=1求出y的值,即可确定出t的范围解答:解:(1)抛物线y=2x2+mx+n经过点A(0,2),B(3,4),代入得:,解得:,抛物线解析式为y=2x24x2,对称轴为直线x=1;(2)由题意得:C(3,4),二次函数y=2x24x2的最小值为4,由函数图象得出D纵坐标最小值为4,设直线BC解析式为y=kx+b,将B与C坐标代入得:,解得:k=,b=0,直线BC解析式
2、为y=x,当x=1时,y=,则t的范围为4t点评:此题考查了待定系数法求二次函数解析式,待定系数法求一次函数解析式,以及函数的最值,熟练掌握待定系数法是解本题的关键2(2011石景山区二模)已知:抛物线与x轴交于A(2,0)、B(4,0),与y轴交于C(0,4)(1)求抛物线顶点D的坐标;(2)设直线CD交x轴于点E,过点B作x轴的垂线,交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段EF总有公共点试探究:抛物线向上最多可以平移多少个单位长度,向下最多可以平移多少个单位长度?考点:二次函数图象与几何变换;二次函数的性质;待定系数法求二次函数解析式菁优网版权所有专题:探究型分析:(1)先设出过A(2,0)、B(4,0)两点的抛物线的解析式为y=a(x+2)(x4),再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出a的值,进而得出此抛物线的解析式;(2)先用待定系数法求出直线CD解析式,再根据抛物线平移的法则得到(1)中抛物线向下平移m各单位所得抛物线的解析式,再将此解析式与直线CD的解析式联立,根据两函数图象有交点即可求出m的取值范围,进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位;同理可求出
3、抛物线向上最多可平移多少个单位解答:解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+2)(x4),C点坐标为(0,4),a=,(1分)解析式为y=x2+x+4,顶点D坐标为(1,);(2分)(2)直线CD解析式为y=kx+b则,直线CD解析式为y=x+4,(3分)E(8,0),F(4,6),若抛物线向下移m个单位,其解析式y=x2+x+4m(m0),由消去y,得x2+xm=0,=2m0,0m,向下最多可平移个单位(5分)若抛物线向上移m个单位,其解析式y=x2+x+4+m(m0),方法一:当x=8时,y=36+m,当x=4时,y=m,要使抛物线与EF有公共点,则36+m0或m6,0m36;(7分)方法二:当平移后的抛物线过点E(8,0)时,解得m=36,当平移后的抛物线过点F(4,6)时,m=6,由题意知:抛物线向上最多可以平移36个单位长度,(7分)综上,要使抛物线与EF有公共点,向上最多可平移36个单位,向下最多可平移个单位点评:本题考查的是二次函数的图象与几何变换,涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、二次函数与一次函数的交点问题,有一定的难度3(2013丰台区一模)二次函数y=
4、x2+bx+c的图象如图所示,其顶点坐标为M(1,4)(1)求二次函数的解析式;(2)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合新图象回答:当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时,求n的取值范围考点:待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象与几何变换菁优网版权所有分析:(1)确定二次函数的顶点式,即可得出二次函数的解析式(2)求出两个边界点,继而可得出n的取值范围解答:解:(1)因为M(1,4)是二次函数y=(x+m)2+k的顶点坐标,所以y=(x1)24=x22x3,(2)令x22x3=0,解之得:x1=1,x2=3,故A,B两点的坐标分别为A(1,0),B(3,0)如图,当直线y=x+n(n1),经过A点时,可得n=1,当直线y=x+n经过B点时,可得n=3,n的取值范围为3n1,翻折后的二次函数解析式为二次函数y=x2+2x+3当直线y=x+n与二次函数y=x2+2x+3的图象只有一个交点时,x+n=x2+2x+3,整理得:x2x+n3=0,=b24ac=14(n3)=134n=0,解得:n=,n的取值范围为:n,由图可知,
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