高中数学实际问题的函数建模例题思考必修试题(共3页)

1、实际问题 (wnt ) 的函数建模例题考虑1. 由变量之间的依存关系建立函数关系解题的关键在于正确分析问题中量与量之间的内在本质联络，抓住主要因素进展抽象，其根本步骤是“四步八字，即审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；求模：求解数学模型，得出数学结论；复原：将利用数学知识和方法得出的结论，复原为实际问题的意义 此四步用框图可表示为常见的函数模型有：1代数函数模型这是一种较为简便的函数模型，在这种模型中，变量与变量之间满足一个代数方程例如：某湖滨住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，计算建造一个八边形的2休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个一样的矩形ABCD和 EFGH构成的面积为 200m222的十字形地域，且方案在正方形MNPK上建一座花坛，造价为4200 元/m ，在四个一样的矩形上以下图阴影局部铺花岗岩路面，造价为210 元/m ，再在四个三角形空地上铺草坪，造价为 80 元/m 问矩形宽为多少时，总造价最小？设 ADx，AM y，那么 (n me) x2 4xy200，总造价这就是这

2、一问题中的变量所满足的代数方程，这样，可以建立一个代数函数模型： “x 为何值时，函数有最大值我们可以通过演算、推理得代数函数模型的解：当，即时， Q最小从而得到原实际问题的 解： 当矩形的宽为 约等于 3.16 米时，总造价最小 下面让我们再观察另一个例子：一个工厂得到任务需要加工 6000 个零件 A 和 2000 个零件 B该厂一共有工人 214 名，每个人加工 5 个零件 A 的时间是可以加工 3 个零件 B现将工人分成两组，分别加工一种零件，同时开场应怎样分组，才能使任务最快完成？设加工零件 A 的工人数为 x，在单位时间是里一个工人加工零件 A的数目为 5k，加工零件 B 的数目为 3k，那么加工零件 A所需时间是为 ，加工(jig ng) 零件 B所需时间是为，其中 k 为一个比例常数，最后完成任务的时间是就为 而，这也可以看作是这一问题中变量所满足的代数方程于是，问题就归结为以下的代数函数模型：“自然数x1x213取多少时，函数f x有最小值从函数图象如上图可以看到，当，即时， f x有最小值因 x0 为非自然数，故而比拟 f x在 x0 的两个邻近自然数 x1 137

3、，x2138 处的函数值，有 f 137 f 138所以加工零件 A、B 的人数分别为 137、77 名时，可以最快地完成任务2指数函数模型x小时0123y细菌数点300A600B1200C2400D123一个简单的例子是细菌的繁殖假设一开场有300 个细菌，其随时间是而迅速繁殖， 细菌数按小时成倍增长，即有6003002 ， 12003002 ，24003002 ，从而可以 (k y) 抽象归纳成一个函数模型y 3002x，这就是我们所认识的指数函数，图形见以下图由此还可以推断在实验开场之前细菌的个数，例 x 1，即实验前 1 小时，细菌个数为y 300 2 1150；x 2，即开场之前2 小时，细菌个数为y3002275这种指数函数模型的特点是：当一个变量算术地增长时，另一变量那么按一定比例的倍数增长即有xa2a3a4aNa y以下图是反映某国从1800 年到 1980 年间人口数量的一批数据资料单位：百万从上图所反映的数据来看，当年份x 每隔 10 年增长时，该国的人口数y 近似地按一定比例的倍数增长，其几何上的图形与细菌繁殖的图形相类似这就告诉我们可以用一个 指数函数模型近似地

4、刻画这个国家人口的变化情况如今让我们作进一步的分析考察(k och) 近几十年的资料：年份人口数10 年中增长的倍数1920106020000193012320000019401321600001950151330000196017932000019702033000001980226540000从 1920 年到1930 年中，平均每年增长；而从 1920 年到 1980 年这60年来看，通过类似计算，平均每年增长率约为1.013 以这段时期中间年份1950 年的人口数作为初始数据，记x 为年份数，那么对该国人口数y百万的较好的一个近似的指数函数模型为 y1511.013 x 1950以此为据，可以预测到2000 年时，这个国家的人口数为1511.013 2000 19501511.013 50 288000000人很自然地，也会提出“什么时候，该国的人口数到达4 亿这样一类的问题，这也就是在如今的指数函数模型中，y，求指数 x 的问题，正是我们所熟悉的对数函数假设(jish) 对前面所给出的17901980 年的数据资料作更为详尽的分析，便可以 得到在不同时期，该国的人口数y百万所

5、满足的指数函数模型以上两个例子，不管是简单的细菌繁殖问题，还是较为复杂的人口问题，它们都或者近似符合指数函数模型的特征遵循这种变化规律的还有许多例如放射性物质14C 的衰减问题 14C的半衰期是 5730x半衰期 5730 的倍数10123y克2001005025年，每经一个半衰期衰减原有数量的一半，残留原有数量的一半如今设从100 克开场， 有x这一问题的指数函数模型为y 1000.5 ，当 x 1 时， y200，表示在 5730 年前， 14C的量可以测定为200 克，而 x2，即14经 11460 年之后，C仅残留 25 克这一模型的几何图形如以下图所示2. 在用数学模型解决实际问题时，我们往往需要根据掌握的数据资料，建立尽量符合问题实际的数学模型，从中认识和掌握其内在的规律与联络，展示以后的变化趋势在根据这些数据建模时，大致有以下两种情况：第一种是在变化过程中，所涉及的变量之间存在某种确定性的函数(h nsh) 关系，检测所得的数据资料仅仅是这种确定性的函数关系在量上的显示，我们把这一种情况称为确定性现象第二种是变化过程中，变量呈现随机性，变量之间不存在某种确定性的函数关系，

6、我们称为随机性现象下面，我们就这两种情况分别举例加以说明1确定性现象既然此时变量之间存在一种确定性的函数关系，那就需要我们对数据资料进展详尽的分析处理，提醒内在的函数关系，建立数学模型一个较为简单的例子是圆的周长C与直径 d 之间的关系不同的圆有不同的周长，人们通过大量的检测数据，提醒这一本质的关系，建立了函数模型Cd，其中 ，称之为圆周率另一个简单的例子是水下深度d 和压力 P 之间的关系下表是在不同的深度所测得的压力，描绘出的散点图显示散点似乎在过原点的一条直线上( 如以下图所示 ) ，事实上是一次函数模型Pkdk 为比例常数水深d1025405575压力P正是(zh nsh ) 压力 P和深度 d 之间确实定性的函数关系，其中k 可以由所给的数据确定如 d 10 时， P=4.3 ，从而 k0.43 ，P0.43d 有了模型，我们就可以预测在其他深度上的压力例如当d=125 时，压力为 P12553.75 下面让我们再来观察、分析一个例子建筑工地为了施工需要，常常在脚手架之间搭上跳板，如以下图所示此时，就需要考虑跳板所能承受的最大重量显然，跳板越宽、越厚，承受的重量就越大；而跳板

7、越长，承受的重量那么相反越小那么如何建立承受重量P 与跳板的长 d、宽和厚 t 之间的函数关系数学模型呢？如今我们暂时固定d、t 中的两个变量，观察另一个变量与承受重量P 之间的关系固定 d10， t 2经测试，得到以下的数据资料和散点图跳板的宽度123456最大承受重量275380107133160P从散点图如以下图所示中，可以看出散点几乎处在一条通过原点的直线上，于是可以认定 (r ndng) 最大承受重量 P 和宽度成正比固定 d10，3同样经测试，得到以下的数据资料和散点图跳板的厚度 t123456最大承受重量P2080180320500720散点图如上图所示显示给出的点几乎处于一条通过原点的抛物线上，于是，我们认定最大承受重量P 和厚度 t 的平方成正比固定3，t 2再次测试，得到以下的数据资料和散点图跳板的长度 d123456最大承受重量800400267200160133P2这里，散点图显示最大承受(ch ngshu) 重量 P与长度 d 成反比归纳以上的分析，得到这一问题中变量之间的关系：最大承受重量 P 与宽度、厚度的平方 t都成正比，与长度d 成反比，即有数模型这就告诉我们，宽度和厚度越大，长度越短，跳板就越结实最后还剩下一个问题确定模型中的比例系数是k由上面所测得的数据资料中的 任意一组都可以推导出k 的数值例如当 d10，1，t 2 时，最大承受重量P27，于是从而完全确定这一函数模型：这就是这一问题中，变量本身所存在确实定性的函数关系由此，可以预测当变量取其他数值时，最大承受重量户的数值，这就保证了建筑工人的平安例如当长度 d20， 宽度 1.5 ，厚度 t 11.5 时，最大承受重量 P 为，即跳板最大可以承受 670 的重量2随机性现象正如前面已经指出的，这种现象所涉及的变量(bi nling) 之间不存在某种确定性的函数关系，但是我们可以从所获得的数据资料出发，建立尽量

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