第十一讲研究生入学试题选讲
19页1、第十一讲研究生入学试题选讲一厦大2004 年考题1。判断题:(1)设nx为实数列,若nx不趋于无穷大,则nx必存在收敛的子列。(正确)证明:因为nx不是无穷大,所以0,nBNnN xB,对11111,nNnNxB,对22222,nNnNxB,对,kkkknNknNxB,从而得到nx的一个收敛的子列knx,由致密性定理knx有收敛的子列klnx,即nx存在收敛的子列。(2) 设 函 数( )f x在 非 空 开 区 间( , )a b内 有 连 续 导 数 , 则12121212()()( , ),( , ),( )f xf xa bx xa bxxfxx。(不正确)反例:设3( )f xx在( 1,1)内有连续导数,0( 1,1),( )0f,但33221212121211221212()(),( 1,1),0f xf xxxx xxxxx xxxxxx。(3)设函数( )fx在区间0,1上有定义, 且极限11lim( )nnkkfnn存在,则此时( )f x在0,1上可积,且1101( )lim()nnkkf x dxfnn。 (不正确)反例:11,1( )( ),( )1,()11
2、()0,nkxQkkf xD xffnxQnnn, 但( )f x在0,1上不可积。(4)设函数级数1( )nnfx在有限区间(,)I上一致收敛,且1( )nnfx收敛,则1( )nnfx在I上必一致收敛。 (不正确)反例:令1( ),( )( 1) ,( )( )( ),0,1nnnnnnnnaxxxb xfxax b xx。0,10,10,10,1, lim( )0,max( ),1sup( )0sup () (1)0()11nnnxnnxxnxaxaxnnnaxnnn所以,( )nax在0,1上一致收敛于零。 又对于固定的0,1x,( )nax单调减少;0,( )1nkknNbx,由狄里克莱判别法,0( )nnfx在0,1一致收敛。又1( )0,1),( )(1),1,( )nnnnfxxfxxxxfx1x时,(1)0nf,所以0( )nnfx在0,1收敛。但00( )(1)nnnnfxxx在0,1非一致收敛。事实上,它的和函数0,1( )1,0,1)xs xx在0,1不连续,所以,它在0,1非一致收敛。(5)设(, )X d为一个度量空间,AX为一个非空集合,A为闭集的充要条件
3、是,xX若( ,)inf( , );0d x Ad x aaA,则.xA。(正确)证明:必要性:设A为闭集,则dAA。现用反证法。若,xX( ,)inf( , );0d x Ad x aaA,但xA。由下确界定义,000, ( ,)aA d x a,又A为闭集且xA,所以0( ,)0d x a。取11111,0( ,)1aAd x a,取2122211min( ,),0( ,)22d x aaAd x a,取111min( ,),0( ,)nnnnnd x aaAd x ann,。从而得一数列na,(),nnmax nnmaa。所以,x为A的聚点,即dxAxA,与假设矛盾。 所以假设不成立,即有,xX若( ,)inf( , );0d x Ad x aaA,则.xA。充分性:dxA,则,()nnaA ax n,从而有0( ,)inf( , );( ,)0()nd x Ad x a aAd x an,所以,( ,)0d x A,由条件,dxAAA,所以A为闭集。2求下列极限(1)limnna,其中1111 ,nan重根号。解:1211,112,1,nnaaaa。易证na单调增加有上界2,所
4、以极限存在。设limnnal,则在递推式中令n,得,1ll,由极限保号性,解得152l。(2)222200lim()x yxyxy解:222200lim()x yxyxy422422c o ss i n2s i nc o s2s i nc o sl n000lim()lim1xrtyrtrttrttrrrree。3 设( )f x在 ,)a二阶可微, 且( )0,( )0,f afa当xa时,0f证明:方程( )f x=0 在 ,)a内有唯一实根。4设有界函数( )f x在 , a b上可积,且( )0baf x dx,证明:在( )f x的连续点处有( )f x=0。5讨论级数211ln(1)(0)npnxnpnn的敛散性。6设( , )zz x y满足22220zzzxy,作满足uvvu的变换( , )( , )xu vyu v,证明:此时也有22220zzuv。7若函数( , )uu x y z在某一区域内具有二阶的连续导数,且满足2222220uuuuxyz,则称( , , )uu x y z为该区域内的调和函数。证明:若( , , )uu x y z为区域32222000(
5、, )()()()x y zRxxyyzza内的调和函数,则00021(,)( , , )4Su xy zu x y z dsa,其中0,a为常数, S 为球的球面。二厦大2005 年考题1。判断题:(1)函数( )f x在某点0 x连续的充分必要条件为:对任何收敛到0 x的数列nx,数列()nf x均收敛。(不正确)反例:设,0( )1,0 xxf xx,:0(),0,()0()nnnnnxxnxf xxn,但( )f x在 0点不连续。(2)函数( )f x定义在( , )a b上, 则( )f x在0( , )xa b处连续的充分必要条件为:0 00 0lim( )lim( )mM其中00(,)( )inf( )xxxmf x,00(,)( )sup( )xxxMf x。 (正确)证明:令( )( )Mm。0( , )xa b充分性:000(,),( )()xxxf xf x,且000 xx,由条件,0 0lim0,所以,00000 00lim( )()lim0lim( )()xxxxf xf xf xf x, 即( )f x在0( , )xa b处连续。必要性:若( )fx在0
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