自-毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用
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1、 毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用摘要 本文用毕卡逐次逼近法及数学分析知识,证明“隐函数存在定理”和一阶方程初值问题解的非局部存在性定理。一毕卡逐次逼近法证明隐函数存在定理 定理1 设满足下列条件:（)在上连续;（I)(通常称为初始条件)(III)对，恒有；(IV)在D上 :即对D上任意两点,不等式 (1) 恒成立，是与和无关的正常数(）。 则在区间唯一确定一个隐函数，满足。这个函数在上连续可微。其中 (2) (）证明:若在上能唯一确定可导的隐函数，则有,方程两边对x求导,得。由,得 。因此,在上能确定唯一可导的隐函数，等价于初值问题 (*）在上有唯一解。简记,下面分4段证明之。 () 构造一个近似解的序列。 用 （)代替中的,则 () 其右边是的已知函数，对(5）两边积分（显然在D上连续,故可积),并令它满足 于是得到 (6)它区间上连续。 一般来说,它并不正好是(*）的解,称它为（*)的第1次近似解,记为 （7)并称（4）为（*)的第0次近似解。现在估算由()确定的函数的界限： (）所以,当时,有,即有。这就推知,当时,于是有定义,并且是x在上的连续函数。考虑 得到第2次近似解 同
2、理可证，当时，有,即如此下去，可得到第n次近似解: (9）易知当时有 （10)从而。由归纳法,定义了无穷序列 , ，, ， (11)每个函数在连续,且,(0，1,2，)（2） 证明在上一致收敛。 当时， (=2，3,) （1)由数学归纳法易证明 (13)事实上,当n1时，由(8)知(13)成立;假设，当n=k时成立,即 则由（12）知 即证明了(13)当=k+1时也成立。由（3)，当时,有易知,正项级数收敛,由-判别法知级数在上一致收敛。即在上一致收敛,将其极限函数记为即 , (4)又连续函数的一致收敛极限函数也必定是连续函数，故在上连续,且，所以当时，。（)证明上述的确是(*）的解。 即 = （15）从而有 ， ()证明（*）的解的唯一性。设与都是（*)的解，公共区间为,则有 (1) （7）由（16)(17)得 (） 记 ， (18)于是,上式可改写为 ,两边乘以,即有 两边从到积分,且由得到,又,故。又由(18)知 ,所以知 。 同理可证 当 时，。综上知 ,当时，,求导得, 即有 ,。这就证明了只有一个解满足(*)由以上的（1),（2）,（),（4)和证明开始处的分析知,在上唯一
3、确定隐函数且满足,同时在上连续可导。证毕。二毕卡逐次逼近法证明一个非局部存在定理 2中有一个一阶方程初值问题解的非局部存在性定理。原文中的证明是用到反证法，在已有贝尔曼不等式，延展定理,饱和区间引理等的前提下,证明过程比较简洁,但需要掌握较多的知识才能理解。而用毕卡逐次逼近法也可以证明该定理。虽然过程长,但思路清晰。现给出定理及证明如下: 定理2设有初值问题 , (19)在带形区域,内连续，并设它在内,则对G内任一点,初值问题(）的解在区间(a,b）上存在且唯一。证明：取, 且 ,对，由定理中知，故均有定义。其中为毕卡序列。以下证明过程类似定理1中（1），(2),（3）,（)的证明。由此知,对与的任意包含的闭子区间初值问题（1)都存在唯一解,故可推知，对于上的任意x,恒成立 和,这就证明了在上，是初值问题的唯一解。证毕。注:定理（1）中第(1）段所作的序列称为毕卡序列,构造毕卡序列并证明它的一致收敛性的这种方法，称为毕卡逐次逼近法。第(2）段证明毕卡序列的一致收敛性和第（)段证明解的唯一性中起重要作用的是。可以举出例子，当不满足（I)时,仅从毕卡序列一致收敛性(在对y不满足局部下），并不能推出初值问题解的唯一性。参考书目：1数学分析简明教程邓东皋,尹小玲。高等教育出版社,19年第1版；2常微分方程蔡燧林,武汉大学出版社，003年，第2版。
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