材料力学笔记(第四章)

1、材料力学（土）笔记第四章弯曲应力1 .对称弯曲的概念及梁的计算简图1.1 弯曲的概念等直杆在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于杆轴线的横向外力或外力偶作用时杆的轴线将变成曲线，这种变形称为弯曲凡是以弯曲为主要变形的杆件，通称为梁工程中常见的梁，其横截面都具有对称轴若梁上所有的横向外力或 （及）力偶均作用在包含该对称轴的纵向平面（称为纵对称面）内，由于梁的几何、物性和外力均对称于梁的纵对称面，则梁变形后的轴线必定是在该纵对称面内的平面曲线，这种弯曲称为 对称弯曲若梁不具有纵对称面，或者，梁虽然具有纵对称面但横向力或力偶不作用在纵对称面内，这种弯曲统称为 非对称弯曲1.2 梁的计算简图梁的计算简图可用梁的轴线表示梁的支座按其对梁在荷载作用平面的约束情况，通常可简化为以下三种基本形式固定端这种支座使梁的端截面既不能移动，也不能转动对梁端截面有3个约束，相应地，就有 3个支反力，即水平支反力 Frx,铅垂支反力FRy和 支反力偶矩M R固定较支座这种支座限制梁在支座处沿平面内任意方向的移动，而不限制梁绕校中心转动，相应地，就有2个支反力，即水平支反力 FRx和铅垂支反力FRy可动较支座这种钱支

2、座只限制梁在支座处沿垂直于支承面的支反力FR如果梁具有1个固定端，或具有1个固定较支座和1个可动较支座则其3个支反力可由平面力系的 3个独立的平衡方程求出，这种梁称为 静定梁工程上常见的三种基本形式的静定梁，分别称为简支梁、外伸梁和悬臂梁梁的支反力数目多于独立的平衡方程的数目，此时仅用平衡方程就无法确定其所有的支反力，这种梁称为超静定梁梁在两支座间的部分称为 跨，其长度称为梁的 跨长常见的静定梁大多是单跨的2 .梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图2.1 梁的剪力和弯矩为计算梁的应力和位移，应先确定梁在外力作用下任一横截面上的内力当作用在梁上的全部外力（包括荷载和支反力）均为已知时，用截面法即可求出其内力梁的任一横截面m-m,应用截面法沿横截面 m-m假想地吧梁截分为二可得剪力FS ,弯矩M剪力和弯矩的正负号规定dx微段有左端向上右端向下的相对错动时，横截面m-m上的剪力Fs为正，反之为负dx微段的弯曲为向下凸，即该段的下半部纵向受拉时，上半部纵向受压时，横截面上的弯矩为正，反之为负为简化计算，梁某一横截面上的剪力和弯矩可直接从横截面任意一侧梁上的外力进行计算， 即横截面上的剪力在数值上等于截

3、面左侧(或右侧)梁段上横向力的代数和在左侧梁段上向上(或右侧梁段上向下)的横向力将引起正值剪力，反之则引起负值剪力横截面上的弯矩在数值上等于截面的左侧(或右侧)梁段上的外力对该截面形心的力矩之代数和，对于截面左侧梁段，外力对截面形心的力矩为顺时针转向的引起正值弯矩，逆时针转向的引起负值弯矩；截面右侧梁段则与其相反2.2 剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随横截面的位置而变化的设横截面沿梁轴线的位置用坐标X表示则梁各横截面上的剪力和弯矩可表示为坐标X的函数，即FS FS(x)和 M M (x)以上两式表示沿梁轴线各横截面上的剪力和弯矩的变化规律分别称为梁的剪力方程和弯矩方程以横截面上的剪力或弯矩为纵坐标，以横截面沿梁轴线的位置为横坐标根据剪力方程或弯矩方程绘出FS (x)和M (x)的图线表示沿梁轴线各横截面上剪力或弯矩的变化情况分别称为梁的剪力图和弯矩图绘图时将正值的剪力画在 x轴的上侧正值的弯矩花在梁的受拉侧，也就是画在x轴的下侧应用剪力图和弯矩图可以确定梁的剪力和弯矩的最大值，及其所在截面的位置作剪力、弯矩图步骤计算支反力列剪力、弯矩方程作剪力、弯

4、矩图可归纳规律如下在集中力或集中力偶作用处，梁的弯矩方程应分段列出；推广而言，在梁上外力不连续处(即在集中力、集中力偶作用处和分布荷载开始或结束处)，梁的弯矩方程和弯矩图应该分段。对于剪力方程和剪力图，除去集中力偶作用处以外，也应分段列出或绘制集中力作用处，剪力图有突变，其左、右两侧横截面上剪力的代数差，即等于集中力值。而在弯矩图上的相应处则形成一个尖角。与此相仿，梁上受集中力偶作用处， 弯矩图有突变，其左、右两侧横截面上的弯矩代数差，即等于集中力偶值，但在剪力图上相应处无变化全梁的最大剪力和最大弯矩可能发生在全梁或各段梁的边界截面，或极值点的截面处2.3 弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系及其应用若将弯矩函数 M(x)对x求导数，即剪力函数 FS(x)将剪力函数FS(x)对x求导数，则得均布荷载集度 q这些关系在直梁中是普遍存在的，设梁上作用有任意分布荷载，其集度q q(x)是x的连续函数，并规定以向上为正取梁的左端为x轴的坐标原点用坐标为x和x dx的两横截面截取长度为 dx的梁段设坐标为x处横截面上的剪力和弯矩分别为FS(x)和M (x),该处的荷载集度为 q(x)并均设为正值

5、，则在坐标为x dx处横截面上的剪力和弯矩将分别为FS(x) dFS(x)和M (x) dM (x)梁段在以上所有外力作用下处于平衡由于dx很小，可略去荷载集度沿 dx长度的变化，于是，由梁段的平衡方程 Fy 0, FS(x) FS(x) dFS(x) q(x)dx 0从而得到dFs(x)dxq(x)以及MC 0, M (x) dM(x)M (x) FS(x)dx q(x)dxdx2略去二阶微量，即得dM (x)dxFs(x)由上述两个式子又可得到2q(x)d M (x)dx2以上三式子就是弯矩M(x)、剪力FS(x)和荷载集度q(x)三函数间的微分关系式两式子的意义分别为：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小可检验所作剪力图和弯矩图的正确性，或直接作梁的剪力图和弯矩图梁段上的外力 情况向卜的均布布载尤布载集中力集中力偶剪力图上的特 征1可下方倾斜的直 线水平直线在C处有突艾在C处无变化弯矩图上的特 征下凸的二次抛物 线一般为斜直 线在C处有尖角在C处有突艾最大弯矩所在 截面的可能位 置在Fs0的截面在剪力突变的 截回紧靠C点的

6、某一侧 平面举例例题4-2例题 4-3、4-4例题4-3例题4-42.4 按叠加原理作弯矩图当梁在荷载作用下为微小变形时，其跨长的改变可略去不计在求梁的支反力、剪力和弯矩时，均可按原始尺寸进行计算而所得到的结果均与梁上荷载成线性关系在这种情况下，当梁上受几项荷载共同作用时某一横截面上弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一横截面上弯矩的叠加叠加原理：当所求参数(内力、应力或位移)与梁上荷载为线性关系时，由几项荷载共同作用时所引起的某一参数，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加当该参数处于同一平面内同一方向，叠加即为代数和若处于不同平面或不同方向，则为几何和3 .平面刚架和曲杆的内力图平面刚架是由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构平面刚架各杆横截面上的内力分量通常有轴力、剪力和弯矩轴力以拉为正剪力、弯矩的正负号规定如下： 设想人站在刚架内部环顾刚架各杆，则剪力、弯矩的正负号与梁的规定相同轴力图及剪力图：画在刚架轴线任一侧(通常正值画在刚架的外侧)，须标明正负号弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正负号4 .梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件 一般情况下，

7、梁的横截面上有弯矩M和剪力FS由截面上分布力系的合成关系可知横截面上与正应力有关的法向内力元素dFNdA才可能合成为弯矩横截面上与切应力有关的切向内力元素dFsdA才可能合成为剪力则梁的横截面上一般是既有正应力，又有切应力研究梁在对称弯曲时，横截面上的正应力若梁在某段内各横截面上的剪力为零，弯矩为常量，则该段梁的弯曲称为纯弯曲4.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力推导梁在横截面上正应力的计算公式，需考虑几何、物理和精力学三方面几何方面假设：梁在受力发生纯弯曲后， 其原来的横截面保持为平面，并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转，且仍垂直于梁变形后的轴线，此即弯曲问题中的平面假设 设用两横截面从梁中假想地截取长度为dx的微段，由平面假设可知在梁弯曲时，两横截面将相对旋转一微小角度d横截面的转动将使梁凹边的纵向线缩短，凸边的纵向线伸长由于变形的连续性，中间必有一层纵向线O1O2无长度改变，称为 中性层中性层与横截面的交线称为 中性轴梁在弯曲时，相邻横截面就是绕中性轴作相对转动的 由于外力、横截面形状及梁的物性均对称于梁的纵对称面 故梁变形后的形状也必对称与该平面因此，中性轴应与横截面的对称轴正交将梁的

8、轴线取为x轴，横截面的对称轴取为 y轴，中性轴取为z轴研究在横截面上距中性轴为 y处的纵向线应变作O2B1与OiA平行，则可得该点处的纵向线应变为Abi BiB ydABi O1O2 dx式中，O1O2 dx为中性层上纵向线段的长度，而中性层的曲率为1 d dx 代入上式，即得_y式子表明横截面上任意一点处的纵向线应变与该点至中性轴的距离 y成正比物理方面若各纵向线之间不因纯弯曲而引起相互挤压则可认为横截面上各点处的纵向线段均处于单轴应力状态 当材料处于线弹性范围内，且拉伸和压缩弹性模量相同时 由单轴应力状态下的胡克定律可得物理关系E代入上式可得EE-y上式表明，横截面上任一点处的正应力与该点至中性轴的距离成正比距中性轴为y的等高线上各点处的正应力均相等静力学方面横截面上法向内力元素dA构成空间平行力系可能组成三个内力分量FN A dA，My aZ dA，Mz aY dA当梁上仅有外力偶 Me作用，则由截面法，上中Fn和M y均等于零而Mz即为横截面上的弯矩 M ,其值等于Me由静力学关系可得Fna dA 0AMy z dA 0y AMz y dA MA整理得到EESzFn - AydA z 0AMyMzE zydAP AE 2y dAAEIyzEIz由于E不可能等于零，故必有Sz0于是z轴必通过横截面形心，从而确定了中性轴的位置y轴是横截面的对称轴，所以 Iyz必等于零由于y轴为对称轴，其左右两侧对称位置处的法向内力元素dA对y轴的矩必等值而反向故横截面上 dA所组成的力矩 My必等于零1由Mz的表达式推导中性层曲率 一的表达式EIz上式表明，在相同弯矩下,1 EI z值越大，梁的弯曲变形（曲率 一）就越小EIz称为弯曲刚度可得等直梁在纯弯曲时横截面上任一点处正应力为My式中，M为横截面上的弯矩；Iz为横截面对中性轴 z的惯性矩；y为所求应力点的纵坐标 问题的几何方面为平面假设物理方面有各纵向线段间相互不挤压，材料在线弹性范围内且拉伸和压缩弹性模量相等 是应用这些公式的限制条件式子中，将弯矩 M和坐标y按规定的正负号代入，所得的正应力为正值，即为拉应力具体计算中，也可不考虑弯矩和坐标的正负号，而直接根据梁变形的情况来判断即以中性层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应

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