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2018-2019学年人教b版选修2-2 1.3.2利用导数研究函数的极值 学案.doc

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    • 预习导航课程目标学习脉络1.理解极值、极值点的概念,明确极值存在的条件;2.会求函数的极值;3.会求函数在闭区间上的最值;4.能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题.1.函数的极值(1)已知函数y=f(x),设x0是定义域(a,b)内任一点,如果对x0附近的所有点x,都有f(x)<f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极大值,记作y极大=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个极大值点.如果在x0附近都有f(x)>f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极小值,记作y极小=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.(2)极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.思考1 (1)极大值(极小值)是否就是函数在定义域内最大的值(最小的值)?(2)函数是否一定存在极值?若存在,是否是唯一的?(3)极大值是否一定比极小值大?(4)函数的极值点是否可以出现在区间的端点?提示:(1)极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.(2)在一个给定的区间上,函数可能存在若干个极值,也可能不存在极值;函数可以只有极大值,没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值,又有极小值.(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值.(4)不可以,函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,因为不符合极值点的定义.2.求函数y=f(x)极值的步骤第1步:求导数f′(x);第2步:求方程f′(x)=0的所有实数根;第3步:考察在每个根x0附近,从左到右,导函数f′(x)的符号如何变化.如果f′(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;如果由负变正,则f(x0)是极小值.如果在f′(x)=0的根x=x0的左、右侧,f′(x)的符号不变,则f(x0)不是极值.思考2 (1)导数为0的点一定是函数的极值点吗?(2)函数在极值点处的导数一定等于0吗?提示:(1)不一定,例如对于函数f(x)=x3,虽有f′(0)=0,但x=0并不是f(x)=x3的极值点,要使导数为0的点成为极值点,还必须满足其他条件.(2)不一定,例如函数f(x)=|x-1|,它在x=1处取得极小值,但它在x=1处不可导,就更谈不上导数等于0了.但对可导函数来说,极值点处的导数值一定等于0.3.函数的最值函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值.点拨 函数极值与最值的联系与区别:(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况,是在局部上对函数值的比较,具有相对性;而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况,是对整个区间上的函数值的比较,具有绝对性.(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值最多只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能多于一个,也可能没有,例如:常函数就没有极大值,也没有极小值.(3)极值只能在函数的定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得.有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能成为最值,最值只要不是在端点处取到,则一定是某个极值.4.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤第1步:求f(x)在开区间(a,b)内所有使f′(x)=0的点.第2步:计算函数f(x)在区间(a,b)内使f′(x)=0的所有点和端点的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.思考3如果函数f(x)在闭区间[a,b]上是单调函数,如何求其最值?提示:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.点拨 函数f(x)在开区间上最值的求法:如果要研究函数在开区间上的最值情况,那么就要与闭区间加以区别.由于是开区间,所以函数的最值不能在端点处取得,而只能在极值点处取得,当函数在开区间上只有一个极值时,这个极值也必然是最值.如果在无穷区间(-∞,+∞)上函数只有一个极值,那么这个极值也就是最值.此外,还要注意研究函数值的变化趋势,必要时应画出函数的大致图象,结合图象分析函数的最值.。

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