课堂导学三点剖析一、运用导数求函数的单调区间【例1】 求下列函数的单调区间.(1)y=x4-2x2+6;(2)y=-lnx+2x2.思路分析:求出导数y′,分别令y′>0或y′<0,解出x的取值范围,便可得出单调区间.解：(1)y′=4x3-4x,令y′>0,即4x3-4x>0,解得-11,所以单调增区间为(-1,0)和(1,+∞).令y′<0,解得x<-1或00,即4x->0,解得;令y′<0,即4x-<0,解得x<-或00,∴单调增区间为(,+∞),单调减区间为(0,).温馨提示 在求单调区间时,一定要在定义域内考虑.二、函数单调性的逆向应用【例2】 若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围.解：函数f(x)的导数f′(x)=x2-ax+a-1.令f′(x)=0,解得x=1或x=a-1.当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意.当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)内为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数.依题意应有当x∈(1,4)时,f′(x)<0;当x∈(6,+∞)时,f′(x)>0.所以4≤a-1≤6,解得5≤a≤7.所以a的取值范围是［5,7］.温馨提示 本题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法,考查综合运用数学知识解决问题的能力.三、运用导数证明不等式【例3】 当x∈(0,)时,证明tanx>x.思路分析：首先构造函数f(x)=tanx-x,然后判断f(x)在(0,)上的单调性.证明:设f(x)=tanx-x,x∈(0,).∴f′(x)=()′-1=-1=-1==tan2x>0.∴f(x)在(0, )上为增函数.又∵f(x)=tanx-x在 x=0处可导且f(0)=0,∴当x∈(0,)时,f(x)>f(0)恒成立,即tanx-x>0.∴tanx>x.温馨提示 对于tanx的导数,它不是初等函数的导数,可先变换成初等函数的导数,然后根据运算法则求导.各个击破类题演练1证明函数f(x)=ex+e-x在［0,+∞)上是增函数.证明:f′(x)=(ex)′+(,)′=ex+(-)=ex-e-x=.∵当x∈［0,+∞)时,ex≥1,∴f′(x)≥0.∴f(x)=ex+e-x在［0,+∞)上为增函数.变式提升1已知x∈R,求证:ex≥x+1.证明:令f(x)=ex-x-1,∴f′(x)=ex-1.∵x∈［0,+∞),∴ex-1≥0恒成立,即f′(x)≥0.∴f(x)为增函数.当x∈(-∞,0)时,f′(x)=ex-1<0,∴f(x)是减函数.又∵f(0)=0,∴当x∈R时f(x)≥f(0),即ex-x-1≥0.∴ex≥x+1.类题演练2 (2006河南郑州二模,8) 函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数g=f′(x)的图象是右图所示的一条直线，则y=f(x)图象的顶点在（ ）A.第Ⅰ象限 B.第Ⅱ象限 C.第Ⅲ象限 D.第Ⅳ象限解:设g=f′(x)=kx+b(k<0,b>0),则y=f(x)=ax2+bx+c;则f′(x)=2ax+b,由此可知a<0,b>0,又因为函数y=f(x)图象过原点,所以c=0,故y=ax2+bx+c的顶点:x=>0,y==>0,故选A.答案:A变式提升2 确定函数f(x)=x2-4x+3的单调区间.解:f′(x)=2x-4.令2x-4>0,解得x>2.因此函数f(x)的单调增区间为(2,+∞).令2x-4<0,解得x<2.因此函数f(x)的单调减区间为(-∞,2).类题演练 3求证:2>3-(x>1).证明:令f(x)=2-3+,则f′(x)=.∵x>1时,x2>0.∴.∴f′(x)=>0.∴f(x)在(1,+∞)上为增函数.∴当x>1时,f(x)>f(1)=2-3+1=0.∴当x>1时,2x>3-.变式提升3 已知函数f(x)与g(x)均为闭区间［a,b］上的可导函数,且f′(x)>g′(x),f(a)=g(a),证明:当x∈［a,b］时,f(x)>g(x).证明:设F(x)=f(x)-g(x),则F′(x)=f′(x)-g′(x)>0,所以F(x)=f(x)-g(x)在区间［a,b］上单调递增.所以对任意x∈［a,b］,f(x)-g(x)>f(a)-g(a)=0,即f(x)>g(x).。
