热学第十章静电学环路定理电势.ppt

10.5 环路定理 电势 一、静电力做功的特点 移动试验电荷q0,由a到b, 电场力做功为 b a L q0 O 对点电荷产生的电场： 静电场力的功只与路径的起 点和终点位置有关，而与路 径形状无关 对点电荷系： 电荷系q1、q2、 、qn 的电场中，移动q0，电 场力做功 P2 P1 L q0 O q2 q3 静电场力的功只与始末位 置有关，与路径无关所 以静电力是保守力，静电 场是保守力场 二 、环路定理（circuital theorem） b a 1 2 静电场的环路定理 在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分(环流)为零 称为静电场的“环流”（circulation） 静电场的环路定理表明： 1.静电场是保守力场；2.静电场是无旋场 静电场是无旋场 (1) 环路定理是静电场的另一重要定理，可用 环路定理检验一个电场是不是静电场 (2) 环路定理要求电力线不能闭合 (3) 静电场是有源、无旋场，可引进电势能 三、电势能 可见，静电场力的功可写为 点电荷 点电荷系 Wa是qo在a点时系统的电势能; Wb是qo在b点时系统的电势能 即：电场力的功等于电势能增量的负值 若取b点为电势能的零点(零势点), 即令Wb = 0，则qo在a点的 电势能为 定义：场中a点的电势 ： 电场中某点的电势有三种表述： (1)等于单位正电荷在该点的电势能； (2)等于将单位正电荷从该点经过任意路径移到零势点时电 场力所作的功。

(3)等于场强从该点经过任意路径移到零势点的线积分 电势差： 静电场中a、b两点的电势差等于将单位正电荷由a沿 任意路径移至b过程中电场力做的功 四、电势和电势差 (2)原则上电势零点可任意选择，视方便而定 对有限大小的带电体，规定取无穷远为零势点，于是 (1)电势是相对量，随零势点的不同而不同；而电势差是 绝对量，与电势零点的选择无关 (3)电势是标量, 其值可正可负, 与零势点的选择有关 若选无穷远为零势点，则正电荷的电场中各点电势总为正 ，负电荷的电场中各点电势总为负 讨论 ： 在实际问题中，也常常选大地的电势为零 五. 电势的计算 (1)已知场强计算电势 计算公式为电势的定义式： (2)已知电荷分布，利用电势叠加法计算电势 计算方法： 点电荷的电势公式+电势叠加原理 取无穷远为电势零点，点电荷q场中任一点P点的电势 dr r P q 即点电荷的电势、电场为 ！ 点电荷系(q1, q2,qi qn)场中的电势 即 式中 Ui代表第i个点电荷qi单独存在时在a点产生的电势 ，Ei 为qi产生的电场因 电势叠加原理 对于电荷连续分布的带电体，可将其分割为无数 多电荷元dq，每个电荷元dq当作点电荷，其电势为 根据电势叠加原理，通过积分得 积分遍及整个带电体。

电势叠加原理也可以计算多个带电体所产生电场的总电势 ，总电势应等于各带电体所产生电场的电势的代数和 本节重点：熟练掌握求电势、电势差及电场力的功的方法 例10.5.1 (1)正六边形边长a，各顶点有一点电荷，如 图所示将单位正电荷从无穷远移到正六边形中心o点 的过程中, 电场力的功？ 解： = Uo 将Uo代入功的式子，得 a +q +q+q +q+q q o 0 (2)电荷分布如图所示，将点电荷qo 从a经半圆b 移到 c 的过程中, 电场力对qo的功？ 解： RR a R o -q+q b c AB q 解： 或：取无穷远为电势零点，则 取B点为电势零点，则A点的电势： =45V dr (3) q =10-9C，A、B与q相距分别为10cm、20cm 取B点电势为零，求A点电势 例10.5.2 长L的均匀带电直线段带电q；求P点 的电势取无穷远为电势零点) x P aL q dx dq 解：将带电直线分为许 多电荷元dq(点电荷)， 利用点电荷电势公式积 分： x 点电荷的电势 Uo= 解 q o R dq R Up= R P x q r dq 例10.5.3 求圆弧圆心、圆环轴线上的电势。

取无穷远为电势零点) ！ .o q .o q 2rdr x P d dr r 例10.5.4 求均匀带电圆盘( 、R)轴线上任一点 的电势取无穷远为电势零点) 解: 将圆盘分为若干个圆环,利用圆环公式积分 圆环轴线上的电势 例10.5.5 一圆台(R1、R2)，侧面均匀带电，电荷面密 度为，求顶点o的电势取无穷远为电势零点) o R1 R2 r x dx 解: 2rdx 由于 得 圆环轴线上的电势 解: 将平面分为若干个圆环积分 x 2rdr 圆环: 例10.5.6 一无限大平面( ), 中部有一半径为R的圆 孔，求圆孔中心轴线上p 的场强和电势 (取o点的 电势为零) x p o R x p o R dr r 根据圆环轴线上的电势: R P x q r .2rdr x p o R x p o R dr r 取o点的电势为零, 求p点的电势: 对于无限扩展的源电荷，不能以点电荷 的电势公式为基础的电势叠加法,因为 不能将电势零点选在无限远处. P28例10.4.4 取o点的电势为零, 求p点的电势 x p o R x p o R dr r 由电势的定义式求解: 例10.5.7 求半径为R、总电量为q 的均匀带电球面的电 势分布。

解: 由高斯定理求出其场强分布: 选定无限远处的电势为零, 由电势的定义式，有 r R: r R: R 结论：球面内任一点的电势都等于球面上的电势；而球面外任 一点的电势与所有电荷集中在球心的点电荷产生的电势相同 P r ！ 解: (1)设内外球面分别带电q1和q2, 用球面电势叠加求球心电势： 例10.5.8 两均匀带电同心球面(R1=10cm、R2=20cm，相 同的 )，无穷远处电势为零，已知球心电势为300V，求: (1) =? (2) 空间电势分布； (3) 两球面的电势差 R1 R2 o q1 q2 (q1= 4 R12 ， q2= 4 R22) 用电势定义求球心电势: R1 R2 o q1 q2 E1 E2 E3 (2) 空间电势分布 R1 R2 o q1 q2 r 用球面电势叠加求解 用电势定义求解（练习） (3)两球面的电势差: 由(2)有： R1 R2 o q1 q2 或由电势差的定义： R r dr rR: 例10.5.9 一带电球体(R， =Ar， A为常量)， 求: 球内外的电场和电势 解： (1)电场 rR: R rR: (2)电势 r r 解: (1) 设内外圆筒单位长度分别带电， R1rR2: B A R2 R1 l r + 例10.5.10 两同轴金属薄圆筒(R1=0.5mm，R2=4.5 mm)， V=UB-UA=300伏, 忽略边缘效应，求: (1)两筒间的电场； (2)一电子刚从A筒表面出发时所受的力: (3)电子到达B筒时的速度。

(4)若击穿场强Eo=200kV/cm, R1可调整, 能承受的最大电 压是多少? 故电场为 两筒间的电势差： B A R2 R1 V=UB-UA=300伏 = V (2)一电子刚从A筒表面出发时所受的力: 方向沿半径指向B筒 (3)电子到达B筒时的速度 =1.03107(m/s) B A R2 R1 (4)若击穿场强Eo=200kV/cm, R1可调整, 能承 受的最大电压是多少? = 33kV B A R2 R1 解 dx dx R rol o q x dx 例10.5.11 均匀带电球面(R，q)外有一均匀带电细线 ( , 长为l)求细线受的力和细线在球面 电场中的电势能 n作业 习题册：习题九 静电场（五） 习题十 静电场（六） 。