[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟题180.docx

[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟题180解答题问题:1. 求解．答案:解：方程化为 此为齐次方程，故令，则x=uy，，代入上述方程得 整理得 上式积分得 ln|u+eu|=-ln|y|+C1， (u+eu)y=C， 将代入得，，故原方程的通解为，其中C为任意常数． 设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Φ'(x)=φ(x)，Φ(0)=0．2. 求方程y'+ysinx=φ(x)ecosx的通解；答案:解：该方程为一阶非齐次线性微分方程，通解为 y=e-∫sinxdx[∫φ(x)ecosxe∫sinxdxdx+C] =ecosx[∫φ(x)ecosx·e-cosxdx+C] =ecosx[∫φ(x)dx+c]=ecosx[Φ(x)+C](其中C为任意常数)．[考点] 本题考查微分方程的求解与解的讨论，尤其是(2)关于解的讨论，是考试中的难点，请复习备考的学生重视， 3. 方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．答案:因为Φ'(x)=φ(x)，所以，又Φ(0)=0，于是， 而 所以，当时，Φ(x+2π)=Φ(x)，即Φ(x)以2π为周期． 因此，当时，方程有以2π为周期的解．问题:4. 设有方程y'+P(x)y=x2，其中试求在(-∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(-∞，1)和(1，+∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2．答案:解：当x≤1时，方程及其初值条件为解得 y=e-∫1dx(∫x2e∫1dxdx+C)=e-x(∫x2exdx+C)=x2-2x+2+Ce-x． 由y(0)=2得C=0，故y=x2-2x+2． 当x＞1时，方程为，解得 综上，得 又y(x)在(-∞，+∞)内连续，有f(1-)-f(1+)=f(1)，即，从而 所以 [解析] 本题虽是基础题，但其特色在于当x的取值范围不同时，系数P(x)不同，这样所求解的方程就不一样，解的形式自然也会不一样，最后要根据解y=y(x)是连续函数，确定任意常数．5. 用变限积分表示满足上述初值条件的特解y(x)；答案:解：初值问题可写成 由上述变限积分形式的通解公式，有： [解析] 一般认为，一阶线性微分方程y'+p(x)y=q(x)的计算公式为 y=e-∫p(x)dx[∫e∫p(x)dxq(x)dx+C]，而本题是要求写成变限积分形式 请考生仔细分辨这里的变量表达形式． 由于本题表达形式比较复杂，且写出表达式后还要进行极限讨论，故本题对于考生来说是一道难题． 6. 讨论是否存在，若存在，给出条件，若不存在，说明理由．答案:由，于是 若，则； 若，则 问题:7. 求xy"-y'lny'+y'lnx=0满足y(1)=2和y'(1)=e2的特解．答案:解：设y'=p，则y"=p'，代入原方程中，xp'-plnp+plnx=0，即 这是齐次方程，设p=xu，则，代入上式，得 由原方程知x＞0，y'＞0，从而u＞0，积分得 lnu-1=C1x，即lnu=C1x+1，回代，得p=xeC1x+1． 代入初值条件y'(1)=e2，解得C1=1，得到方程 ， 积分得y=(x-1)ex+1+C2， 代入初值条件y(1)=2，解得C2=2，故所求特解为 y-(x-1)ex+1+2． 问题:8. 求y'2-yy"=1的通解．答案:解：设y'=p，，方程化为，积分得 当时，，解得y=±x+C． 当时，变为解得 积分得 上式中，当时，取正号；当时，取负号，C1，C2为任意常数， 当时，变为，解得 积分得 上式中，当时，取正号；当时，取负号，C3，C4为任意常数．问题:9. 求(x+2)y"+xy'2=y'的通解．答案:解：令y'=p，有，原式成为 两边同除以-p2，化为 整理得 ， 解得 当C1＞0时，得 当C1=0时，得 当C1＜0时，得，其中C2为任意常数．问题:10. 求微分方程的通解．答案:解：此为齐次方程，只要作代换解之即可，方程变形为 令，则方程化简可得．如，两边积分，得 所以有，即．代回得 即得原方程通解为，其中C为大于零的任意常数． 问题:11. 求微分方程的通解．答案:解：变形和作适当代换后变为可分离变量的方程， 方程两边同除以x，得 当x＞0时，．作变换，有，即解之得arcsinu=lnCx．再以代回，便得原方程的通解：，即y=xsin(lnCx)，其中C为大于零的任意常数．问题:12. 求微分方程y"-2y'-e2x=0满足条件y(0)=1，y'(0)=1的特解．答案:解：齐次方程y"-2y'=0的特征方程为r2-2r=0，由此求得特征根r1=0，r2=2．对应齐次方程的通解为Y=C1+C2e2x，设非齐次方程的特解为y*=Axe2x，则 y*'=(A+2Ax)e2x，y*"=4A(1+x)e2x， 代入原方程，得，从而．于是，原方程通解为 将y(0)=1和y'(0)=1代入通解求得．从而，所求特解为 问题:13. 求微分方程y"+2y'+y=xex的通解．答案:解：特征方程r2+2r+1=0的两个根为r1=r2=-1．对应齐次方程的通解为 Y=(C1+C2x)e-x. 设所求方程的特解为y*=(ax+b)ex，则 y*'=(ax+a+b)ex，y*"=(ax+2a+b)ex, 代入所给方程，有(4ax+4a+4b)ex=xex．解得，所以 最后得原微分方程的通解为，其中C1，C2为任意常数．问题:14. 求微分方程y"+4y'+4y=e-2x的通解．答案:解：特征方程r2+4r+4=0的根为r1=r2=-2．对应齐次方程的通解为 Y=(C1+C2x)e-2x． 设原方程的特解y*=Ax2e-2x，代入原方程得，因此，原方程的通解为 ，其中C1，C2为任意常数．问题:15. 求微分方程y"+2y'-3y=e-3x的通解．答案:解：对应的齐次方程的通解为 Y=C1ex+C2e-3x． 设原方程的一个特解为y*=Axe-3x，代入原方程，得 所求通解为，其中C1，C2为任意常数．问题:16. 求微分方程y"+5y'+6y=2e-x的通解．答案:解：所给微分方程的特征方程为 r2+5r+6=(r+2)(r+3)=0， 特征根为r1=-2，r2=-3．于是，对应齐次微分方程的通解为 Y=C1e-2x+C2e-3x． 设所给非齐次方程的特解为y*=Ae-x．将y*代入原方程，可得A=1．由此得所给非齐次方程的特解y*=e-x．从而，所给微分方程的通解为 y=C1e-2x+C2e-3x+e-x，其中C1，C2为任意常数． 问题:17. 求微分方程(3x2+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy=0的通解．答案:解：方法一 原方程化为3x2dx+(2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy=0，即 d(x3)+d(x2y-xy2)=0， 故通解为x3+x2y-xy2=C，其中C为任意常数． 方法二 令y=xu，则 即．解得u2-u-1=Cx-3，即y2-xy-x2=Cx-1或xy2-x2y-x3=C，其中C为任意常数． 问题:18. 设y(x)是方程y(4)-y"=0的解，且当x→0时，y(x)是x的三阶无穷小，求y(x)．答案:解：由泰勒公式 当x→0时，y(x)与x3同阶，即有y(0)=0，y'(0)=0，y"(0)=0，y'''(0)=C，其中C为非零常数，由这些初值条件，现将方程y(4)-y"=0两边积分得 即y'''(x)-C-y'(x)=0，两边再积分得y"(x)-y(x)=Cx． 易知，它有特解y*=-Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e-x-Cx，由初值y(0)=0，y'(0)=0得 C1+C2=0，C1-C2=C，即． 因此最后得，其中C为任意非零常数．问题:19. 求一个以y1=tet，y2=sin2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解．答案:解：由y1=tet可知y3=et为其解，由y2=sin2t可知y4=cos2t也是其解，故所求方程对应的特征方程的根λ1=λ3=1，λ2=2i，λ4=-2i．其特征方程为 (λ-1)2(λ2+4)=0，即λ4-2λ3+5λ2-8λ+4=0． 故所求的微分方程为y(4)-2y'''+5y"-8y'+4y=0，其通解为 y=(C1+C2t)et+C3cos2t+C4sin2t，其中C1，C2，C3，C4为任意常数． 问题:20. 从一艘破裂的油轮中渗漏出来的油，在海面上逐渐扩散形成油层．设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变，已知其厚度h的减少率与h3成正比，试证明：其半径r的增加率与r3成反比．答案:证：把V=πr2h看作隐式方程，其中r，h均为关于时间t的函数，两边同时对t求导． 由于π和V都是常数，所以有，由题意条件(k1为比例系数)，代入上式，可得，再将代入上式，可得 即半径r的增加率与r3成反比． 问题:21. 求解y"=e2y+ey，且y(0)=0，y'(0)=2．答案:解：令y'=p(y)，则，代入方程，有 p2=e2y+2ey+C， 即 y'2=e2y+2ey+C 又y(0)=0，y'(0)=2，有C=1，所以 y'2=e2y+2ey+1=(ey+1)2， y'=ey+1(y'(0)=2＞0)， y-ln(ey+1)=x+C1， y(0)=0代入上式，得C1=-ln2，所以，该初值问题的解为 y-ln(1+ey)=x-ln2． 问题:22. 求方程的通解以及满足y(0)=2的特解．答案:解：这是可分离变量方程，当y2≠1时，分离变量得 两边积分，得 去掉绝对值记号，并将±e2C1记成C，并解出y，得 ① 这就是在条件y2≠1下的通解，此外，易见 y=1及y=-1 也是原方程的解，但它们并不包含在式①之中， 将y(0)=2代入式①中得，故C=-3．于是得到满足y(0)=2的特解 问题:23. 求微分方程的通解，并求满足y(1)=0的特解．答案:解：。