09第三章泊松过程.ppt

第三章 泊松过程,泊松过程定义 泊松过程的数字特征 时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的条件分布 复合泊松过程 非齐次泊松过程,例如： 交换机在一段时间内接到的呼叫次数； 火车站某段时间内购买车票的旅客数； 机器在一段时间内发生故障的次数；,定义： 称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程，若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，且N(t)满足下列条件： N(t) ≥0; N(t)取正整数值以及0； 若st，则N(s) ≤N(t)； 当st时，N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数计数过程,计数过程N(t)是独立增量过程,如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，事件A发生的次数是相互独立的计数过程N(t)是平稳增量过程,若计数过程N(t)在(t,t+s]内（S0），事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关，而与t无关定义3.2： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ0的泊松过程，若它满足下列条件： X(0)=0； X(t)是(平稳)独立增量过程； 在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数λ0的泊松分布，即对任意s,t≥0，有,泊松过程同时也是平稳增量过程,表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称为泊松过程的速率或强度,定义3.3： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ0的泊松过程，若它满足下列条件： X(0)=0； X(t)是独立、平稳增量过程； X(t)满足下列两式：,(2)证明定义3.2和定义3.3是等价的。

泊松过程的数字特征,设{X(t),t≥0}是泊松过程，对任意的t,s∈[0, ∞)，且st，有,由于X(0)=0，所以,一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为,时间间隔Tn的分布,设{X(t),t≥0}是泊松过程，，令X(t)表示t时刻事件A发生的次数，Tn表示从第（n-1）次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔定理3.2： 设{X(t),t≥0}为具有参数λ的泊松过程，{Tn,n≥1}是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn是独立同分布的均值为1/λ的指数分布证明,即:对于任意n=1,2, …事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为,其概率密度为,所以,T1服从均值为1/λ的指数分布证明：,所以,T2也服从均值为1/λ的指数分布 同理可以证明：对于任意的n=1,2,…,事件相继到达的时间间隔Tn也服从均值为1/λ的指数分布,等待时间Wn的分布,等待时间Wn是指第n次事件A出现的时刻(或第n次事件A的等待时间),因此Wn是n个相互独立的指数分布随机变量之和定理3.3： 设{Wn,n≥1}是与泊松过程{X(t),t≥0}对应的一个等待时间序列，则Wn服从参数为n与λ的Г分布（也称爱尔兰分布），其概率密度为,证明,证明：,到达时间的条件分布,假设在[0,t]内时间A已经发生一次，我们要确定这一时间到达时间W1的分布。

到达时间的条件分布 解：,到达时间的条件分布 解：,分布函数,概率密度函数,设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，求这n次到达事件W1W2, …Wn的联合概率密度函数 解：,例题3.4 设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0st，对于0kn，求P{X(s)=k|X(t)=n} 解：,例题3.5设在[0,t]内事件A已经发生n次，求第k(kn)次事件A发生的时间Wk的条件概率密度函数例题3.6 设{X1 (t),t ≥0}和{X2 (t),t ≥0}是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为λ1和λ2，记 为过程X1(t)的第k次事件到达时间， 为过程X2(t)的第1次事件到达时间，求,解：,非齐次泊松过程,允许速率或强度是t的函数,定义3.4： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数λ(t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件： X(0)=0； X(t)是独立增量过程；,非齐次泊松过程的均值函数为,定理3.5： 设{X(t),t≥0}为具有均值函数 非齐次泊松过程，则有,或,例题3.8 设{X(t),t≥0}是具有跳跃强度 的非齐次泊松过程（ω≠0），求E[X(t)]和D[X(t)]。

解:E[X(t)]= D[X(t)],例题3.9 设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增加，8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望 解：,复合泊松过程,定义3.5： 设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程，{Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量，且与{N(t),t≥0}独立，令,则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程N(t),Yk,X(t),在时间段(0,t]内来到商店的顾客数,第k个顾客在商店所花的钱数,该商店在(0,t]时间段内的营业额,设 是复合泊松过程，则 若E(Y12)∞，则,例题： 设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每周内有2户定居，但每户的人口数是随机变量，一户4人概率为1/6，一户3人概率为1/3，一户2人概率为1/3，一户1人概率为1/6，求5周内移民到该地区的人口的数学期望与方差。

解：,,,,,则:,,例题：设交换机每分钟接到的次数X(t)是强度为λ的泊松过程求 1、两分钟内接到3次呼叫的概率 2、第二分钟内接到第3次呼叫的概率 作业 3.1, 3.3, 3.5,。