2022年中考数学函数与几何综合压轴题集合.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载DOEODB2312022 中考数学函数与几何综合压轴题集合1.（ 2004 安徽芜湖）如图①,在平面直角坐标系中,AB 、CD 都垂直又∵DO DBEO,∴于 x 轴,垂足分别为B、D 且 AD 与 B 相交于 E 点.已知：A〔-2,-6〕,C〔1,-3〕 AB6AB〔1〕 求证： E 点在 y 轴上；∴DO ′ =DO ,即 O′与 O 重合, E 在 y 轴上〔2〕 假如有一抛物线经过A,E,C 三点,求此抛物线方程. y 〔3〕 假如 AB 位置不变,再将DC 水平向右移动k〔k>0〕 个单位,此时方法二：B DAD 与 BC 相交于E′ 点,如图②,求△AE ′C 的面积 S 关于 k的函数解析式. y 由 D（1,0）, A（ -2,-6）O x B D 得 DA 直线方程： y=2x-2 ①E′再由 B（ -2,0）, C（1, -3）,O x 得 BC 直线方程： y=-x-2 ②C（ 1+k,-3）E C（1,-3）（ 2,-6）图①联立①②得x02A（ 2,-6）y 图②∴ E 点坐标（ 0, -2）,即 E 点在 y 轴上（ 2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c〔a ≠ 0〕过 A（ -2,-6 ）, C（1,-3）[解]（1）（本小题介绍二种方法,供参考）4a2bc6方法一：过E 作 EO ′⊥x 轴,垂足O′∴ AB ∥ EO ′∥ DC E（0,-2）三点,得方程组abc3∴EODO,EOBOc2ABDBCDDB解得 a=-1,b=0,c=-2 又∵ DO ′ +BO ′ =DB ∴EOEO1∴抛物线方程y=-x2-2 ABDC（ 3）（本小题给出三种方法,供参考）∵ AB=6 , DC=3 ,∴ EO ′=2由（1）当 DC 水平向右平移k 后,过 AD 与 BC 的交点 E′作 E′F⊥x名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载轴垂足为F；抛物线 y＝ ax2＋bx ＋c 经过 B、M 两点,且它的顶点到x 轴的距离为h.同（ 1）可得：E FE F1得： E′F=2 求这条抛物线的解析式. ABDC[解]（ 1）解：由已知AM ＝2, OM ＝ 1,方法一：又∵E′F∥ ABEFDF,∴DF1DBABDB3在 Rt △ AOM 中, AO ＝AM2OM21,S △ AE ′C= S △ ADC- S △ E′DC= 1 2DCDB1DCDF1DC2DB223∴点 A 的坐标为A（ 0, 1）= 1 3DCDB =DB=3+k （ 2）证：∵直线y＝x＋ b 过点 A（0,1）∴ 1＝0＋ b 即 b＝1∴y＝ x＋ 1 令 y＝0 就 x＝－ 1∴B（ —1,0）, S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥ DC ,∴ S △ BCA =S △ BDAAB ＝BO2AO2 2 1 2 12∴ S△ AE ′C= S △ BDE ′1BDE F1 3 2k23k在 △ ABM 中, AB ＝2 ,AM ＝2 , BM ＝2 AB2AM2〔2〕2〔2〕24BM22∴ S=3+k 为所求函数解析式. 证法三： S△ DE ′C∶S △ AE ′C=DE ′∶AE′ =DC ∶AB=1 ∶2 ∴△ ABM 是直角三角形,∠BAM ＝90°∴直线 AB 是⊙ M 的切线同理：S△ DE ′C∶ S△ DE ′B=1 ∶2,又∵ S△ DE′C∶S △ ABE ′=DC2∶AB2=1 ∶4 ∴SAE C2S 梯形ABCD21ABCDBD3k（ 3）解法一：由⑵得∠BAC ＝90° ,AB＝2 ,AC＝ 22 ,∴BC ＝AB2AC2〔2〕2〔22〕210992∴ S=3+k 为所求函数解析式. 2. （2004 广东茂名）已知：如图,在直线坐标系中,以点M （1,0）∵∠ BAC ＝90°∴△ ABC 的外接圆的直径为BC ,为圆心、直径AC 为22的圆与 y 轴交于 A、 D 两点 . ∴S 1〔BC〕2〔10〕25y （1）求点 A 的坐标；222而S 2〔AC 2〕2〔222〕22B A ·M C x （2）设过点A 的直线 y ＝x ＋b 与 x 轴交于点B. 探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；S 1（3）连接 BC ,记△ ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为 S2,如S 1h,hS 24S 24,D 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 〔2〕求抛物线的解析式；5h,h5即　　24〔3〕在抛物线上是否存在一点D,使线段设经过点B（ —1, 0）、 M （1, 0）的抛物线的解析式为：OC 与 PD 相互平分？如存在,求出点y＝a（＋ 1）（ x－1）,（ a≠ 0）即 y＝ ax2－a,D 的坐标；如不存在,请说明理由. ∴－ a＝±5,∴ a＝ ±5 [解] （ 1）如图,连结PB ,过 P 作 PM ⊥x 轴,垂足为M. ∴抛物线的解析式为y＝ 5x2－5 或 y＝－ 5x2＋5 解法二：（接上）求得∴ h＝5 在 Rt△ PMB 中, PB=2,PM=1, ∴∠ MPB ＝60° ,∴∠ APB ＝120°由已知所求抛物线经过点B（—1,0）、 M（1、0）,就抛物线的对称轴是y 轴,由题意得抛物线的顶点坐标为（0,±5） ⌒AB 的长＝12024∴抛物线的解析式为y＝ a（ x－0）2±5 1803又 B（－ 1,0 ）、 M （ 1,0）在抛物线上,∴a± 5＝0, a＝±5 （ 2）在 Rt △ PMB 中, PB=2,PM=1, 就 MB ＝MA ＝3 . ∴抛物线的解析式为y＝5x2－ 5 或 y＝－ 5x2＋5 解法三：（接上）求得∴h＝5 又 OM=1 ,∴ A（1－3 ,0）, B（1＋3 ,0）,由于抛物线的方程为y＝ax2＋bx ＋c（a≠ 0）abc0a＝－5a5由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线 PM 上,y 就 C〔1 ,－ 3〕. 由已知得abc0　　　解得b0　　或　　b0点 A、B、C 在抛物线上,就4acab25c5c50a〔 13 〕2b〔 13〕cA O ·M B x 40a〔 13〕2b〔 13〕cP（1,－ 1）∴抛物线的解析式为y＝5x2－ 5 或 y＝－ 5x2＋5. 3abc3.〔2004湖北荆门 〕如图,在直角坐标系中,以点P（1,－ 1）为圆心, 2解之得a12抛物线解析式为yx22x2C 为半径作圆,交x 轴于 A、B 两点,抛物线yax2bxc 〔a0〕过点bA、B,且顶点 C 在⊙ P 上. y c2〔1〕求⊙ P 上劣弧 ⌒AB 的长；（ 3）假设存在点D,使 OC 与 PD 相互平分,就四边形OPCD 为平行四边形,且PC ∥ OD. 名师归纳总结 A O B x ·P（1,－ 1）第 3 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载y3x223x3.又 PC ∥ y 轴,∴点D 在 y 轴上,∴ OD ＝2,即 D（0,－ 2）. ∴经过 A、 B、 C 三点的抛物线的解析式为：又点 D（0,－ 2）在抛物线yx22x2上,33〔2〕EF 与⊙ O1、⊙ O 2 都相切 . 故存在点D（ 0,－ 2）,使线段OC 与 PD 相互平分 . 证明：连结O 1E、 OE 、 OF. ∵∠ ECF ＝∠ AEO ＝∠ BFO ＝90° , ∴四边形EOFC 为矩形 . 4.（ 2004 湖北襄樊）如图,在平面直角坐标系内, Rt △ ABC 的直角顶点 C（0, 3 ）在 y 轴的正半轴上, A、B 是 x 轴上是两点, 且 OA ∶ OB＝3∶ 1,以 OA 、 OB 为直径的圆分别交 AC 于点 E,交 BC 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q. （1）求过 A、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线 EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想 . （3）在 △ AOC 中,设点 M 是 AC 边上的一个动点,过 M 作 MN ∥ AB交 OC 于点 N. 试问：在 x 轴上是否存在点 P,使得 △ PMN 是一个以MN 为始终角边的等腰直角三角形？如存在, 求出 P 点坐标；如不存在,请说明理由 . y [解] 〔1〕 在 Rt△ ABC 中, OC ⊥ AB,∴△ AOC ≌△ COB. E C ∴OC 2＝OA· OB. Q ∵OA ∶ OB ＝3∶1,C〔0, 3 〕, F 2∴〔 3〕 3 OB OB .A O1 O O2 B x ∴OB ＝ 1. ∴OA ＝ 3. ∴A〔-3,0〕,B〔1,0〕. 设抛物线的解析式为yax2bxc .9a3 bc0。