数列的通项与求和计算方法总结(总15页).doc

数列的通项与求和计算方法总结第一章 数列通项公式的十种求法一、公式法例1 已知数列满足，，求数列的通项公式解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式二、累加法例2 已知数列满足，求数列的通项公式解：由得则所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式例3 已知数列满足，求数列的通项公式解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式例4 已知数列满足，求数列的通项公式解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式三、累乘法例5 已知数列满足，求数列的通项公式解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式解：因为 ①所以 ②用②式－①式得则故所以 ③由，，则，又知，则，代入③得。

所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式四、待定系数法例7 已知数列满足，求数列的通项公式解：设 ④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式例8 已知数列满足，求数列的通项公式解：设 ⑥将代入⑥式，得整理得令，则，代入⑥式得 ⑦由及⑦式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式例9 已知数列满足，求数列的通项公式解：设 ⑧将代入⑧式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入⑧式，得 ⑨由及⑨式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式五、对数变换法例10 已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：因为，所以在式两边取常用对数得 ⑩设 将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得 由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式六、迭代法例11 已知数列满足，求数列的通项公式解：因为，所以又，所以数列的通项公式为评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而七、数学归纳法例12 已知数列满足，求数列的通项公式解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论1）当时，，所以等式成立2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立根据（1），（2）可知，等式对任何都成立评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明八、换元法例13 已知数列满足，求数列的通项公式解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

九、不动点法例14 已知数列满足，求数列的通项公式解：令，得，则是函数的两个不动点所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式例15 已知数列满足，求数列的通项公式解：令，得，则是函数的不动点因为，所以评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式九、不动点法例14 已知数列满足，求数列的通项公式解：令，得，则是函数的两个不动点所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式例15 已知数列满足，求数列的通项公式解：令，得，则是函数的不动点因为，所以第二章 数列的求和一、教学目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式； 2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3．熟记一些常用的数列的和的公式．二、教学重点：特殊数列求和的方法．三、教学过程：（一）主要知识：1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

1）等差数列的求和公式： （2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）2．公式法： 3．错位相减法：比如4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项常见拆项公式： ； 5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和6．合并求和法：如求的和7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；3．转化思想的运用；（三）例题分析：例1．求和：① ② ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和思路分析：通过分组，直接用公式求和解：①②（1）当时，（2）当③总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比讨论2．错位相减法求和例2．已知数列，求前n项和思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和解： 当 当3.裂项相消法求和例3.求和思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解: 练习:求 答案: 4.倒序相加法求和例4求证：思路分析：由可用倒序相加法求和。

证：令则 等式成立5．其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和例5．已知数列思路分析：，通过分组，对n分奇偶讨论求和解：，若若预备：已知成等差数列，n为正偶数，又，试比较与3的大小解：可求得，∵n为正偶数，（四）巩固练习：1．求下列数列的前项和：（1）5，55，555，5555，…，，…； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）．解：（1）．（2）∵，∴．（3）∵∴．（4）， 当时，…， 当时，… ， …， 两式相减得 …，∴．（5）∵， ∴ 原式……．（6）设， 又∵， ∴ ，．2．已知数列的通项，求其前项和．解：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，∴，当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项， ∴，所以，．四、小结：1．掌握各种求和基本方法；2．利用等比数列求和公式时注意分讨论。