（整理版）第九章（B）第4讲.doc

第九章〔B〕 第4讲时间：60分钟　总分值：100分一、选择题(85＝40分)1．在空间四点O、A、B、C中，假设O、O、O不正确的选项是 (　　)A．O、A、B、C四点不共线 B．O、A、B、C四点共面，但不共线C．O、A、B、C四点不共面 D．O、A、B、C四点中任三点不共线答案：B2．A、B、C三点不共线，点O是平面ABC外一点，那么在以下各条件中，能得到点M与A、B、C一定共面的条件为 (　　)A.＝＋＋ B.＝－＋C.＝＋＋ D.＝2－－答案：B解析：由共面向量定理的推论知、、的系数之和为1，选项B中＋(－)＋1＝1符合．3．空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，那么＋(＋)等于 (　　)A. B. C. D.答案：A解析：如下图，＋(＋)＝＋＝.4．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，假设＝x＋y＋z(其中x、y、z∈R)，那么x＋y＋z＝1是四点P、A、B、C共面的 (　　)A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：C解析：假设四点P，A，B，C共面，根据共面定理知：＝λ＋ω(λ，ω∈R)，∴－＝λ(－)＋ω(－)，＝(1－λ－ω)＋λ＋ω，令x＝1－λ－ω，y＝λ，z＝ω，即＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1.反之，假设x＋y＋z＝1，那么x＝1－y－z，代入条件得＝(1－y－z)＋y＋z，于是－＝y(－)＋z(－)，即＝y＋z，由共面向量定理知P、A、B、C四点共面．5．假设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足＝0，＝0，＝0，那么△BCD是 (　　)A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定答案：B解析：∵＝(－)(－)＝－－＋2>0，同理>0，>0，故△BCD为锐角三角形．因此选B.6．空间四边形ABCD每边及对角线长均为，E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，那么等于 (　　)A. B．1 C. D.答案：A解析：由于ABCD为正四面体，E、F、G为中点，因此△EFG为等腰直角三角形，所以＝||||cos45＝1＝.应选A.7．如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，那么等于 (　　)A.a－b＋c B．－a＋b＋cC.a＋b－c D.a＋b－c答案：B解析：∵＝－＝(＋)－＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.应选B.8．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，假设AB＝BB1，那么AB1与C1B所成的角的大小为 (　　)A．60 B．90 C．105 D．75答案：B解析：如以下图，＝＋＝＋，设||＝1，∴＝＋＋＋＝cos120＋1＝0.∴AB1⊥BC1.二、填空题(45＝20分)9．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，那么＝________(用a、b、c表示)．答案：a＋b＋c解析：＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋＝a＋(＋)＝a＋b＋c，故填a＋b＋c.10．如图点G是△ABC的重心，O是空间任一点，假设＋＋＝λ，那么λ的值是________．答案：3解析：如图G为重心，E为AB的中点＝(＋)，＝＝(－)，＝＋＝＋(－)＝(＋＋)，∴λ＝3.11．平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60，那么对角线AC1的长是________．答案：解析：||2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2＋2＋2＝1＋1＋1＋2＋2＋2＝6.那么|AG|＝.12．在各棱长都等于1的正四面体OABC中，假设点P满足＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，那么||的最小值等于______．答案：解析：由于点P满足＝xOA＋y＋z(x＋y＋z＝1)，所以点P与A，B，C共面，即P点在平面ABC内，所以||的最小值即为点O到平面ABC的距离，亦即正四面体的高，可以求得||的最小值为.三、解答题(410＝40分)13．如下图，设P是正方形ABCD所在平面外一点，O为正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，PO⊥平面ABCD.(1)用基向量P、P、P表示向量O；(2)用基向量P、P、P表示向量P.解析：(1) O＝P－P＝P－(P＋P)＝－P－P＋P.(2)∵P＋P＝2P，∴P＝2P－P.又∵P＋P＝2P，∴P＝2P－P.∴P＝2P－P＝2P－(2P－P)＝2P－2P＋P.14．空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，求以下向量的数量积．(1)；(2)；(3)；(4).解析：在空间四边形ABCD中，||＝||＝a，〈，〉＝60；(1)∴＝aacos60＝a2.(2)||＝a，||＝a，〈，〉＝60.∴＝a2cos60＝a2.(3)||＝a，||＝a，又∥，∴〈，〉＝π，∴＝a2cosπ＝－a2.(4)∵||＝a，||＝a，EF∥BD，∴〈，〉＝〈，〉＝60.∴＝a2cos60＝a2.15．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证：EF⊥平面AB1C.证明：证法一：设＝a，＝c，＝b，那么＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)．∵＝＋＝a＋b，∴＝(－a＋b＋c)(a＋b)＝(－a2＋ab＋ac＋ab＋b2＋bc)∵a2＝|a|2，b2＝|b|2，∴b2－a2ac＝bc＝0，∴＝0，∴⊥.同理可证⊥.∴EF⊥AB1，EF⊥B1C，从而EF⊥平面B1AC.证法二：设正方体的棱长为2，如图以D为原点建立空间直角坐标系，那么A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)，∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)，＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)．＝－10＋(－1)2＋12＝0，∴⊥，同理⊥，即EF⊥AB1，EF⊥AC∴EF⊥平面B1AC.总结评述：证法一利用了向量之间的转化，重在逻辑推理，上面的证法二利用了向量的坐标运算，重点在于计算．这两种方法是立体几何中证明平行或垂直最常用的方法，都应予以掌握．16．如下图，直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90，D、E分别为AB、BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．解析：(1)设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|且ab＝bc＝ca＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴＝－c2＋b2＝0.∴CE⊥A′D.(2)＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|.＝(－a＋c)(b＋c)＝c2＝|a|2，∴cos，＝＝.∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.。