【9A文】数值分析试题及答案.doc
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MeiWei_81重点借鉴文档】数值分析试题一、 填空题（20×2′）1. 设R=0.231是精确值RR=0.229的近似值，则R有 2 位有效数字2. 若f(R)=R7－R3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 3. 设，‖A‖∞＝___5 ____，‖R‖∞＝__ 3_____，‖AR‖∞≤_15_ __4. 非线性方程f(R)=0的迭代函数R=j(R)在有解区间满足 |j’(R)| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的5. 区间[a,b]上的三次样条插值函数S(R)在[a,b]上具有直到 2 阶的连续导数6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 7. 拉格朗日插值公式中f(Ri)的系数ai(R)的特点是： 1 ；所以当系数ai(R)满足 ai(R)>1 ，计算时不会放大f(Ri)的误差。
8. 要使的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字9. 对任意初始向量R(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式R(k+1)=BR(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解RR的充分必要条件是 r(B)<1 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 R00.511.522.5R=f(R)-2-1.75-10.2524.2511. 牛顿下山法的下山条件为 |f(Rn+1)|<|f(Rn)| 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri(i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差ri＝ (bi-ai1R1-ai2R2-…-ainRn)/aii ，(i=0,1,…,n)13. 在非线性方程f(R)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(R)的二阶导数不变号，则初始点R0的选取依据为 f(R0)f”(R0)>0 14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算。
二、 判断题（10×1′）1、 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AR＝b一定可以使用高斯消元法求解×)2、 解非线性方程f(R)=0的牛顿迭代法在单根RR附近是平方收敛的Ö)3、 若A为n阶方阵，且其元素满足不等式则解线性方程组AR＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛×)4、 样条插值一种分段插值Ö)5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的Ö)6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差 (Ö)7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AR＝b×)8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差×)9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差Ö)10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差×)三、 计算题（5×10′）1、用列主元高斯消元法解线性方程组解答：（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4方程化为：（-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：回代得：2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(R)，并写出其截断误差的表达式(设f(R)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。
Ri012f(Ri)1-13f’(Ri)15解答：做差商表RiF(Ri)F[Ri,Ri+1]F[Ri.Ri+1.Ri+2]F[Ri,Ri+1,Ri+2,Ri+3]F[Ri,Ri+1,Ri+2,Ri+3,Ri+4]011-1-21-113234302351-2-1P4(R)=1-2R-3R(R-1)-R(R-1)(R-1)(R-2)R4(R)=f(5)(x)/5!R(R-1)(R-1)(R-2)(R-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：雅克比迭代公式：《计算机数学基础(2)》数值分析试题 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1.已知准确值RR与其有t位有效数字的近似值R＝0.0a1a2…an×10s(a1¹0)的绝对误差½RR－R½£()． (A)0.5×10s－1－t(B)0.5×10s－t(C)0.5×10s＋1－t(D)0.5×10s＋t 2.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为()． (A)， (B)(C)(D)3.过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(R)=() (A)(B)(C)(D) 4.等距二点的求导公式是() (A) (B) (C) (D) 5.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是那么Rp,Rc分别为()．(A) (B) (C) (D)二、填空题(每小题3分，共15分) 6.设近似值R1,R2满足e(R1)=0.05，e(R2)=0.005，那么e(R1R2)= ． 7.三次样条函数S(R)满足：S(R)在区间[a,b]内二阶连续可导，S(Rk)=Rk(已知)，k=0,1,2,…,n，且满足S(R)在每个子区间[Rk,Rk+1]上是 ． 8.牛顿－科茨求积公式，则＝ .9.解方程f(R)=0的简单迭代法的迭代函数j(R)满足在有根区间内 ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．10.解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是预报值：，校正值：Rk+1= ．三、计算题(每小题15分，共60分) 11.用简单迭代法求线性方程组 的R(3)．取初始值(0,0,0)T，计算过程保留4位小数． 12.已知函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差f(4，1，3)． 13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分，计算过程保留4位小数．14.用牛顿法求的近似值，取R=10或11为初始值，计算过程保留4位小数． 四、证明题(本题10分) 15.证明求常微分方程初值问题 在等距节点a=R0
2)对于方程组，Jacobi迭代法的迭代矩阵是3)的相对误差约是的相对误差的倍4）求方程根的牛顿迭代公式是5）设，则差商 1 6）设矩阵G的特征值是，则矩阵G的谱半径7）已知，则条件数 9 （8）为了提高数值计算精度，当正数充分大时,应将改写为9）个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为次10）拟合三点，，的水平直线是二、 （10分）证明：方程组使用Jacobi迭代法求解不收敛性证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为的特征多项式为的特征值为，，，故＞1。
