高中数学课件第二章 投影的基本知识3.ppt

点的投影41 ．点的三面投影及其规律 1 ） 点的三面投影及其投影标注 如图1-2-19(a)是空间点A三面投影的直观图图1-2- 19 (b)是三个投影面回转展平后所得点A的投影图 在投影中，空间的点用大 写字母表示其在H面上 的投影称为水平投影，用 同一字母的小写字母表示 ；在V面上的投影称为正 面投影，用同一字母的小 写字母并在右上角加一撇 表示；在W面上的投影称 为侧面投影，用同一字母 的小写字母并在右上角加 两撇表示• 1．正面投影和水平投影连线必定垂直于X轴，即： aˊa⊥OX • 2．正面投影和侧面投影连线必定垂直于Z轴，即： aˊa〞⊥OZ • 3．水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离 ，即：a ax= a〞aZ2）点的投影规律• Aa=aˊax= a〞ay，其中Aa 是空间点A到H面的距离； A aˊ= a ax= a〞az，其中 A aˊ是空间点A到V面的距 离； A a〞= aˊaz= aay， 其中A a〞是空间点A到W面 的距离因此，我们得出 ：点的三个投影到各投影 轴的距离，分别代表空间 点到相应的投影面的距离 ，如图1-2-20从图图1-2-19 (a)中还可以看出：例【1-2-1】：已知点B的H面投影b和W面投影b〞，求作 点B的V面投影b′。

• 【解】：（如图1-2-21）根据点的投影规律，b′的 作法如下：（a）已知点B的H、 W面投影b、b〞（ b）过b作OX轴的 垂线 bbx并延长之 （c）过b〞作OZ轴的垂 线b〞bz并延长之，与bbx 延长线相交于b′点即为所求例【1-2-2】：已知空间点C的H面投影c和V面投影c′， 求作点C的W面投影c〞 • 【解】：如图1-2-22所示，（a）已知点C的H、V 面投影c、cˊ（b）过cˊ作OZ轴的 垂线cˊcz并延长之（c）过c作OYH的 垂线ccYH（e）过CYW作OYW的垂线， 与cˊcz之延长线相交， 交点c〞即为所求（d）以O为圆心，OCYH为半径 作弧，交OYW于CYW， 即OCYH=OCYW在三投影面体系中，空间点及其投影的位置，可以 用坐标来确定我们把三投影面体系看作空间直角坐标 系，投影轴OX、OY、OZ相当于坐标系X、Y、Z轴，投影面 H、V、W相当于三个坐标面，投影轴原点O相当于坐标原 点 • 如图1-2- 23a所示， 空间一点到 三投影面的 距离，就是 该点的三个 坐标（用小 写字母x、y 、z表示） ， 2 点的投影与坐标标空间点到W面的距离为x坐标；即：Aa〞=a′az=aaYH=x坐标 空间点到V面的距离为y坐标；即：Aa′=aax=a〞az=y坐标 空间点到H面的距离为Z坐标；即：Aa=a′ax=a〞aYW=Z坐标 • 空间点及投影位置即可用坐标方法表示，如点A的空 间位置是：A（x，y，z）；点A的H面投影是a（x，y ，0），点A的V面投影a′（x，0，z，），点A的W面 投影a〞（0，y，z，）。

应用坐标能较容易地求作 点的投影和指出点的空间位置例【1-2-3】：已知点A的坐标x=20，y=15，z=10，即： A（20，15，10），求作点A的三面投影图 • 【解】：如图1-2-24所示(a)画出投影轴；（b）在OX轴上量取Oax=x=20 在OYH轴上量取OaYH=y=15 在OZ轴上量取Oaz=z=10（c）过ax作OX轴的垂线， 过az作OZ轴的垂线， 过aYH作OYH轴的垂线， 得交点a和a′（d）按上例方法求得a〞例【1-2-4】：已知点B的坐标x=20，y=0，z=10，即： A（20，0，10），求作点B的三面投影图 • 【解】：作法见图1-2-25注意：点B的y=0，即表示该 点离V面的距离为零，也就是点B位于V面上b） 在OX轴上量取Obx=x=20 在OYH轴上量取ObYH=y=0 在OZ轴上量取Obz=z=10(a)画出投影轴；（c）过bx作ox轴的垂线， 过bz作oz轴的垂线，得交点 b和b′（d）因 obYH=obYW=0， 所b〞与bz重合 从上例B点的投影图中反映了一个规律：见图1-2-26如空间点位于投影面上（即点的三个坐标中有一个 坐标等于零），它的三个投影中必有两个投影位于 投影轴上，反之，空间一个点的三个投影中，如果 有两个投影位于投影轴上，该空间点必定位于某一 投影面上。

图1-2-263 两点的相对位置 •由点的投影图判别两点在空间的相对位置，首先应该了解对空 间的一个点来说有前、后、左、右、上、下等六个方位如图1 -2-29（a）所示 在V面上的投影，能反映左、右（即空间点到W面的距离——x坐标）和 上、下（即空间点到H面的距离——z坐标）的情况 在H面上的投影，能反映左、右（即空间点到W面的距离——x坐标）和 前、后（即空间点到V面的距离——y坐标）的情况 在W面上的投影，能反映前、后（即空间点到V面的距离——y坐标）和 上、下（即空间点到H面的距离——z坐标）的情况这六个方位 在投影图上 也能反映出 来如图1- 2-29（b） 所示 从图中可以 看出：我们可以根据方位来判别两点在空间的相对位置 例【1-2-5】：试判别C、D两点的相对位置，如图1-2-30所示 【解】：从图中可以看出：c、c′在d、d′之左，即空间点C在点D的 左方； c′、c〞在d′、d〞之下，即空间点C在点 D的下方； c、c〞在d、d〞之前，即空间点C在点 D的前方由此判别出空间点C在点D的左、下、前方，或点 D在点C的右、上、后方点的重影及可见性 • 由正投影特性可知，如果两个点位于同一投影线上 ，则此两点在该投影面上的投影必然重叠，该投影可称 为重影，重影的空间两个点称为重影点。

• 如图1-2-31中，A、B是位于同一投影线上的两点， 它们在H面上的投影a和b相重叠我们沿着投影线方向 朝投影面观看，离投影面较近的点B被较远的点A所遮挡 ，点A为可见点，点B为不可见点在投影图上规定重影 点中不可见点的投影用字母加一括号表示， • 作业：• 附加1. 试说明在三投影面体系中， 空间点前、后、左、右、上、下六个 方位是如何反映的。