计算机控制技术：Chap3 计算机控制系统的数学描述.ppt

3.1 离散系统时域描述离散系统时域描述差分方程差分方程3.2 z变换变换 3.3 脉冲传递函数脉冲传递函数3.4 离散系统的方块图分析离散系统的方块图分析 3.5 离散系统的频域描述离散系统的频域描述3.6 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述3.7 应用实例应用实例13.1.1 差分的定义差分的定义连续函数连续函数 ，采样后为，采样后为 简写简写一阶向前差分：一阶向前差分：二阶向前差分：二阶向前差分： n阶向前差分：阶向前差分： 一阶向后差分：一阶向后差分： 二阶向后差分：二阶向后差分： n阶向后差分：阶向后差分： 23.1.2 差分方程差分方程差分方程是确定时间序列的方程差分方程是确定时间序列的方程 连续系统连续系统微分用差分代替微分用差分代替 一般离散系统的差分方程：一般离散系统的差分方程： 差分方程还可用向后差分表示为：差分方程还可用向后差分表示为：代替代替代替代替33.1.3 线性常系数差分方程的迭代求解线性常系数差分方程的迭代求解差分方程的解也分为通解与特解差分方程的解也分为通解与特解通解是与方程初始状态有关的解通解是与方程初始状态有关的解特解与外部输入有关，它描述系统在外部输入作用下的强迫运动。

特解与外部输入有关，它描述系统在外部输入作用下的强迫运动例例3-1 已知差分方程已知差分方程 ，试试求求解：采用递推迭代法，有：解：采用递推迭代法，有：4例例3-1 采用采用MATLAB程序求解程序求解解序列为：解序列为：k=0，1，9时，时，n=10;% 定义计算的点数定义计算的点数c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0；%定义输入输出和点数的初值定义输入输出和点数的初值for i=2:n c(i)=r(i)+0.5*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1;endplot(k,c,k:o) %绘输出响应图，每一点上用绘输出响应图，每一点上用o表示表示MATLAB程序：程序： c=0，1.0000，1.5000， 1.7500，1.8750， 1.9375，1.9688， 1.9844，1.9922， 1.9961，差分方程的解序列表示差分方程的解序列表示 说明：另一个求解方法是利用说明：另一个求解方法是利用z变换求解变换求解 53.1 离散系统时域描述离散系统时域描述差分方程差分方程3.2 z变换变换 3.3 脉冲传递函数脉冲传递函数3.4 离散系统的方块图分析离散系统的方块图分析3.5 离散系统的频域描述离散系统的频域描述3.6 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述3.7 应用实例应用实例63.2.1 z变换定义变换定义1. z变换变换采样信号采样信号 采样信号的采样信号的z变换变换注意：注意：z变换中，变换中，z-1代表信号滞后一个采样周期，可代表信号滞后一个采样周期，可称为单位延迟因子。

称为单位延迟因子 Z变换是对离散序列进行的一种数学变换常用以求线性时不变差分方程的解 7采样脉冲序列进行采样脉冲序列进行z变换的写法：变换的写法：在实际应用中，对控制工程中多数信号，在实际应用中，对控制工程中多数信号，z变换所表示的变换所表示的无穷级数是收敛的，并可写成闭和形式无穷级数是收敛的，并可写成闭和形式z的有理分式：的有理分式：z-1的有理分式的有理分式:零、极点形式：零、极点形式：82. z反变换反变换求与求与z变换相对应的采样序列函数的过程称为变换相对应的采样序列函数的过程称为z反变换z反变换唯一，且对应的是采样序列值反变换唯一，且对应的是采样序列值 z变换只能反映采样点的信号，不能反映采样点之间的行为变换只能反映采样点的信号，不能反映采样点之间的行为 93.2.2 z变换的基本定理变换的基本定理1线性定理线性定理2实位移定理（时移定理）实位移定理（时移定理）(1)右位移（延迟）定理右位移（延迟）定理(2)左位移（超前）定理左位移（超前）定理3复域位移定理复域位移定理 103.2.2 z变换的基本定理变换的基本定理4初值定理初值定理5终值定理终值定理 若存在极限若存在极限，则有：，则有：假定函数假定函数全部极点均在全部极点均在z平面的平面的单单位位圆圆内内或最多有一个极点在或最多有一个极点在z=1处处，则则 113.2.3 求求z变换及反变换方法变换及反变换方法1. z变换方法变换方法(1) 级数求和法级数求和法(根据定义根据定义)例例3-6 求指数函数求指数函数 的的z变换变换 12利用利用s域中的部分分式展开法域中的部分分式展开法1. z变换方法变换方法(2) F(s) 的的z变换变换 （L反变换）反变换） (z变换变换)(采样采样) 例例3-7 试求试求的的z变换。

变换解：解： 另一种由另一种由F(s) 求取求取F(z) 的方法是留数计算方法本书对此不予讨论的方法是留数计算方法本书对此不予讨论 13利用利用MATLAB软件中的符号语言工具箱软件中的符号语言工具箱进行进行F(s)部分分式展开部分分式展开已知已知，通过部分分式展开法求，通过部分分式展开法求F(z) F=sym(s+2)/(s*(s+1)2*(s+3)； %传递函数传递函数F(s)进行符号定义进行符号定义numF,denF=numden(F)；%提取分子分母提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%将分母转化为一般多项式将分母转化为一般多项式pdenF=sym2poly(denF)；%将分子转化为一般多项式将分子转化为一般多项式R,P,K=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展开部分分式展开MATLAB程序：程序： 运行结果：运行结果：R=0.0833-0.7500-0.50000.6667P=-3.0000-1.0000-1.00000K=（此题无（此题无K值）值） 对应部分分式分解结果为：对应部分分式分解结果为： 141. z变换方法变换方法(3) 利用利用z变换定理求取变换定理求取z变换式变换式例例3-8 已知已知f (t)=sin t的的z变换变换 的的z变换。

变换解：利用解：利用z变换中的复位移定理可以很容易得到变换中的复位移定理可以很容易得到 试求试求 151. z变换方法变换方法(4) 查表法查表法 实际应用时可能遇到各种复杂函数，不可能实际应用时可能遇到各种复杂函数，不可能采用上述方法进行推导计算实际上，前人采用上述方法进行推导计算实际上，前人已通过各种方法针对常用函数进行了计算，已通过各种方法针对常用函数进行了计算，求出了相应的求出了相应的F(z)并列出了表格，工程人员并列出了表格，工程人员应用时，根据已知函数直接查表即可具体应用时，根据已知函数直接查表即可具体表格见附录表格见附录A 部分分式部分分式 查表查表 求和求和 部分分式部分分式 查表查表 求和求和 162. z反变换方法反变换方法 (1) 查表法查表法（可以直接从表中查得原函数）（可以直接从表中查得原函数）如已知如已知z变换函数变换函数F(z) ，可以依，可以依F(z) 直接从直接从给定的表格中求得它的原函数给定的表格中求得它的原函数f *(t) 172. z反变换方法反变换方法(2) 部分分式法部分分式法（较复杂，无法直接从表格中查其原函数）（较复杂，无法直接从表格中查其原函数） 部分分式部分分式 查表查表 求和求和 查表查表 18部分分式法例子部分分式法例子例例3-9 求下式的求下式的z反变换反变换MATLAB程序：程序： Fz=sym(-3*z2+z)/(z2-2*z+1)；%进行符号定义进行符号定义F=Fz/z；numF,denF=numden(F)；%提取分子分母提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%将分母转化为一般多项式将分母转化为一般多项式pdenF=sym2poly(denF)；R,P,K=residue(pnumF,pdenF)% 部分分式展开部分分式展开 查表可得查表可得 其中其中 192. z反变换方法反变换方法(3) 幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）例例3-10 已知已知 ，求，求 对该例，从相关系数中可以归纳得：对该例，从相关系数中可以归纳得：203.2.4 差分方程差分方程z变换解法变换解法例例3-11 用用z变换法求差分方程变换法求差分方程 利用利用z变换求解线性常系数差分方程，将差分方程的求解转换为代数方程的求解变换求解线性常系数差分方程，将差分方程的求解转换为代数方程的求解c(k+2)-3c(k+1)+2c(k)=4k解：解：(1) 对每一项做对每一项做z变换变换(2) 归纳整理归纳整理 特解特解 通解通解 (3) z反变换反变换 查表得查表得 部分分式展开部分分式展开 假设初始条件为零，上式第假设初始条件为零，上式第2项为零项为零 213.1 离散系统时域描述离散系统时域描述差分方程差分方程3.2 z变换变换 3.3 脉冲传递函数脉冲传递函数 3.4 离散系统的方块图分析离散系统的方块图分析 3.5 离散系统的频域描述离散系统的频域描述3.6 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述 3.7 应用实例应用实例 223.3.1 脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义 定义：在初始条件为零时，定义：在初始条件为零时， 离散系统脉冲传递离散系统脉冲传递函数函数 又称为又称为z传递函数传递函数输出量输出量z变换变换输入量输入量z变换变换输出的采样信号：输出的采样信号： 图图3-6脉冲传递函数脉冲传递函数 233.3.2 脉冲传递函数特性脉冲传递函数特性1. 离散系统脉冲传递函数的求取离散系统脉冲传递函数的求取 离散系统的脉冲传递函数可以看作是系统输入为单位脉冲时，其脉离散系统的脉冲传递函数可以看作是系统输入为单位脉冲时，其脉冲响应的冲响应的z变换。

变换 若已知采样系统的连续传递函数若已知采样系统的连续传递函数G(s)，当其输出端，当其输出端加入虚拟开关变为离散系统时，其脉冲传递函数可按下述步骤求取：加入虚拟开关变为离散系统时，其脉冲传递函数可按下述步骤求取： （1）对）对G(s)做拉氏反变换，求得脉冲响应做拉氏反变换，求得脉冲响应 （2）对）对 采样，求得离散系统脉冲的响应为采样，求得离散系统脉冲的响应为（3）对离散脉冲响应做）对离散脉冲响应做z变换，即得系统的脉冲传递函数为变换，即得系统的脉冲传递函数为 几种脉冲传递函数的表示法均可应用几种脉冲传递函数的表示法均可应用 脉冲传递函数完全表征了系统或环节的输入与输出之间的特性，脉冲传递函数完全表征了系统或环节的输入与输出之间的特性，并且也只由系统或环节本身的结构参数决定，与输入信号无关并且也只由系统或环节本身的结构参数决定，与输入信号无关 243.3.2 脉冲传递函数特性脉冲传递函数特性2. 脉冲传递函数的极点与零点脉冲传递函数的极点与零点极点极点当当G(z)是是G(s)由通过由通过z变换得到时，它的极点是变换得到时，它的极点是G(s)的极点的极点按按z=e-sT的关系一一映射得到。

由此可知，的关系一一映射得到由此可知，G(z)的极点位置的极点位置不仅与不仅与G(s)的极点有关，还与采样周期的极点有关，还与采样周期T密切相关当采样周密切相关当采样周期期T足够小时，足够小时，G(s)的极点都将将密集地映射在的极点都将将密集地映射在z=1附近零点零点G(z)的零点是采样周期的零点是采样周期T的复杂函数采样过程会增加额外的复杂函数采样过程会增加额外的零点若连续系统若连续系统G(s)没有不稳定的零点，且极点数与零点数之差没有不稳定的零点，且极点数与零点数之差大于大于2，当采样周期较小时，当采样周期较小时，G(z)总会出现不稳定的零点，总会出现不稳定的零点，变成非最小相位系统变成非最小相位系统 有不稳定零点的连续系统有不稳定零点的连续系统G(s)，只要采样周期取得合适，离，只要采样周期取得合适，离散后也可得到没有不稳定零点的散后也可得到没有不稳定零点的G(z) 253.3.3 差分方程与脉冲传递函数差。