材料力学例题及范例.docx

材料力学例题及 本人精心整理的文档,文档来自网络本人仅收藏整理如有错误还请自己查证！材料力学例题及解题指导（第二章至第六章）第二章 拉伸、压缩与剪切例2-1 试画出图a直杆的轴力图解：此直杆在A、B、C、D点承受轴向外力先求AB段轴力在段内任一截面1-1处将杆件截开考察左段（图2-5b）在截面上设出正轴力N1由此段的平衡方程SX＝0得N1－6＝0N1＝＋6kNN1得正号说明原先假设拉力是正确的同时也就表明轴力是正的AB段内任一截面的轴力都等于+6kN再求BC段轴力在BC段任一截面2-2处将杆件截开仍考察左段（图2-5c）在截面上仍设正的轴力N 2由SX＝0得－6＋18＋N2＝0N2＝－12kNN2得负号说明原先假设拉力是不对的（应为压力）同时又表明轴力N2是负的BC段内任一截面的轴力都等于－12kN同理得CD段内任一截面的轴力都是－4kN 画内力图以水平轴x表示杆的截面位置以垂直x的坐标轴表示截面的轴力按选定的比例尺画出轴力图如图2-5（d）所示由此图可知数值最大的轴力发生在BC段内解题指导：利用截面法求轴力时,在切开的截面上总是设出正轴力N 然后由SX＝0求出轴力N 如N 得正说明是正轴力（拉力）如得负则说明是负轴力（压力）例2-2 试求自由悬挂的直杆（图2-6a）由纵向均匀分布荷载q（力／长度）引起的应力和纵向变形设杆长l、截面积A及弹性模量E均已知解：在杆上距下端为x处取一任意横截面m-m则该截面轴力为N(x)＝qx根据此式可作出轴力图如图2-6b所示m-m截面的应力为s（x）＝N(x)/A＝qx/A显然悬挂端有最大轴力Nmax＝ql及最大正应力 求杆纵向变形由于各横截面上轴力不等不能直接应用公式(2-4)而应从长为dx的微段出发在x处取微段dx其纵向伸长可写为杆件的总伸长研究上端固定杆件由于自重引起的伸长时杆件自身重量就是一种均匀纵向分布力此时单位杆长的分布力q＝A×1×g此处g是材料单位体积的重量即容重将q代入上式得到此处G＝Alg是整个杆的重量上式表明等直杆自重引起的总伸长等于全部重量集中于下端时伸长的一半解题指导：对于轴力为变数的杆利用虎克定律计算杆件轴向变形时应分段计算变形然后代数相加得全杆变形当轴力是连续函数时则需利用积分求杆变形例2-3 图2-7所示两根圆截面杆材料相同试计算两杆的应变能并比较其大小解：a杆： b杆： 两杆应变能之比： 解题指导：从本例可看出在受力相同的情况下刚度小的杆件应 变能大例2-4平行杆系1、2、3悬吊着刚性横梁AB如图2-8a所示在横梁上作用着荷载G如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同分别为A、l、E试求三根杆的轴力N1、N2、N3-解：设在荷载G作用下横梁移动到A￠B￠位置（图2-8b）则杆1的缩短量为Dl1而杆2、3的伸长量为Dl2、Dl3取横梁AB为分离体如图2-8c其上除荷载G外还有轴力N1、N2、N3以及X由于假设1杆缩短2、3杆伸长故应将N1设为压力而N2、N3设为拉力(1) 平衡方程（a）三个平衡方程中包含四个未知力故为一次超静定问题(2) 变形几何方程 由变形关系图2-8b可看出B1B￠＝2C1C￠即 或(b)(3) 物理方程 (c)将(c)式代入(b)式然后与(a)式联立求解可得解题指导：在解超静定问题中：假定各杆的轴力是拉力、还是压力要以变形关系图中各杆是伸长还是缩短为依据两者之间必须一致经计算三杆的轴力均为正说明正如变形关系图中所设杆2、3伸长而杆1缩短例题及解题指导例2-5 图3-6所示螺钉承受轴向拉力F已知许可切应力[t]和拉伸许可应力[s]之间的关系为：[t]=0.6[s]许可挤压应力[sbs]和拉伸许可应力[s]之间的关系为：[sbs]=2[s]试建立Ddt三者间的合理比值解：(1) 螺钉的拉伸强度 (2) 螺帽的挤压强度(3) 螺帽的剪切强度得：D : d : t = 1.225: 1 : 0.415解题指导：注意此题的剪切面、挤压面例2-6 一托板用8只铆钉铆于立柱上如图3-7a铆钉间距为aF＝80kN距离l＝3a已知铆钉直径d＝20mm许可切应力[t]＝130MPa试校核铆钉剪切强度解：铆钉群的形心C位于立柱的y轴上将力F向C点平移得到一个过C点的y向力F和一个顺时针转动的力偶Fl通过C的力F在每个铆钉受剪面上引起的剪力相等其值为F/8图3-7(c)所示图中只示出1、2、8三个铆钉沿负y方向的剪力F/8力偶Fl在每一铆钉中也引起剪力假设剪力方向与该铆钉中心至C的连线正交而大小与连线长度成正比图3-7(b)示出Fl引起的铆钉剪力；铆钉1、3、5、7的剪力都是Q￠1；2、4、6、8的剪力都是Q￠2诸铆钉的剪力对C之矩之和等于Fl即再利用代入上式得铆钉2的总剪力Q2＝F/8＋F/4＝3F/8铆钉1的总剪力是所以铆钉1、3受力最为危险故＝115MPa0剪力为上升的斜直线C点剪力：因C点无集中力剪力在C点连续C点偏右剪力：QC右 = QC左 =－3qa/4；B点剪力：QB = qa/4BC段弯矩：q = c>0弯矩为上凸抛物线C点偏右弯矩：MC右 =qa2/4B点弯矩：MB =0在距离B端支座为a/4的E处剪力等于零弯矩有极值:根据以上分析和计算画出剪力、弯矩图如图6-6(b)、(c)所示解题指导：熟练掌握剪力、弯矩图的规律可以不写剪力、弯矩方程直接绘图对称结构承受反对称荷载时剪力图是对称的弯矩图是反对称的第五章 弯曲应力 例题和解题指导 例5.1将一根直径d＝1mm的直钢丝绕于直径D＝1m的卷筒上（图7-7）已知钢丝的弹性模量E＝200GPa试求钢丝由于弹性弯曲而产生的最大弯曲正应力又材料的屈服极限ss＝350MPa求不使钢丝产生塑性变形的卷筒轴径D1应为多大 解：（1）最大弯曲正应力 由式(7-2) 有曲率与弯矩间的关系 即 又 （2）求轴径D1 则 得轴径D1＝0.571m 解题指导：钢丝的直径d远小于卷筒的直径径D因此钢丝的曲率半径可以近似为 例5.2 T字形截面铸铁梁的荷载及截面尺寸如图7-8(a)示C为T形截面的形心惯矩Iz＝6013×104mm4材料的许可拉应力[st]＝40MPa许可压应力[sc]＝160MPa试校核梁的强度解：梁弯矩图如图7-8(b)所示绝对值最大的弯矩为负弯矩发生于B截面上应力分布如图7-8 (c)所示此截面最大拉、压应力分别发生于截面上、下边缘各点处 ＝36.2MPa<[st] ＝78.6MPa<[sc] 虽然A截面弯矩的绝对值|MA|y2因此全梁最大拉应力究竟发生在哪个截面上必须经计算才能确定A截面最大拉应力为 ＝39.3MPa<[st] 最大压应力在B截面下边缘处最大拉应力在A截面下边缘处都满足强度条件 解题指导：由此例可知对于铸铁等脆性材料由于拉、压许可应力不等通常制成上、下不对称截面以充分发挥材料的承载潜力应特别注意此种梁的弯矩有正、有负时可能出现两个危险截面而且两个危险点可能不在同一个截面上 例5-3矩形截面悬臂梁如图7-9示试计算梁的最大切应力和最大正应力并比较大小 解：梁的最大弯矩在固定端处Mmax=Pl,剪力在梁的各截面均为常数危险截面在固定端处 　 　应力比： 解题指导：对于细长梁如l＝5h则有tmax＝0.05smax亦即最大切应力远小于最大正应力这一结论适用于通常的非薄壁截面梁（指厚壁截面梁及实心截面梁） 一般说来非薄壁截面细长梁横力弯曲的强度计算可以只考查正应力强度不必考虑切应力但对于顺纹方向抗剪强度差的材料如木制梁及切应力较大的薄壁截面梁或短梁（跨度与梁的高度比小于5）则需同时进行正应力和切应力的计算 例5.4 图7-10所示悬臂梁由三块胶合在一起截面尺寸为：b=100mma=50mm已知木材的[s]＝10MPa[t]＝1MPa胶合面的[tj]＝0.34Mpa试求许可荷载[P] 解：（1）由梁的抗拉强度确定的许可荷载P1 （a） （2）由梁的剪切强度确定的许可荷载P2 （3）由胶合面的剪切强度确定的许可荷载P3 在三个荷载中选择最小的得胶合梁的许可荷载[P]=3.75kN 解题指导：在上面胶合梁中假如胶合层发生破坏则杆的弯曲特性随之而改变抗弯强度将会显著降低设三个梁接触面间摩擦力甚小每个梁可以自由弯曲且弯曲曲率完全一样这时可近似认为每个梁上承担的外力等于P/3则每一梁的最大正应力等于 与式（a）比较最大正应力增加了三倍第六章弯曲变形 例题及解题指导 例6.1用积分法求图8-2所示梁挠曲线方程时要分几段积分？将出现几个积分常数？列出确定其积分常数条件（弹簧刚度为k） 图8-2 解：（a）分两段积分1. AC段2.CB段4个积分常数边界条件：vA=0vB= RB/ k (RB 为B点支反力)连续条件：vC1＝vC2 q C1＝qC2 （b）分三段积分1. AD段2.DC段3.CB段6个积分常数边界条件：vA=0q A=0vB=0连续条件：vD1＝yD2q D1＝q D2vC2＝yC3 解题指导：（1）在荷载突变处、中间约束处、截面变化处（惯性矩I突变处）及材料变化处（弹性模量E值突变处）均应作为分段积分的分段点 （2）中间铰链连接了两根梁也应作为分段点 （3）各分段点处都应列出连续条件中间铰链只限制了两梁在该点的相对位移不能限制转动故只有一个挠度连续条件 图8-3 例6.2 变截面简支梁受到集中力P的作用如图8-3(a)所示试用叠加法计算梁自由端B处的挠度vB和转角q B 解：由于梁在C截面处截面尺寸发生变化须分两段计算变形再进行叠加首先将梁沿截面变化处C截开把CB段梁暂时看作是在C处固支的悬臂梁（图8-3(b)）利用材料 力学教材上的典型梁变形表可得B点位移：（ ） （↓） 再求AC段C截面位移将外力P向C点 平移C点受两个外力：集中力P和集中力 偶Pl/2查表可得 注意梁CB段的C截面是固定在梁AC段的 C截面上AC段C截面的位移必然会牵动 CB段因此将梁CB段下移vC再使整个CB段转动qC角则CB段即与图8-3(c)的AC段衔接而得到整个梁的变形如图8-3(d)在此拼合过程中B点又获得额外的转角qB2和挠度vB2由图8-10c可知 于是B端的挠度和转角为 解题指导：此例题设所给出的结构无法由手册或表格中查到因此对结构进行了分解将其等效化处理为可查表结构然后再对结构叠加叠加原理即可以用于荷载的叠加也可以用于结构的叠加 例6.5 试解图8-6所示的超静定梁 解：（1）选择静定基 以B点约束作为多余约束将其除去代之以约束反力RB称之为静定基如图8-6(b) (2) 变形协调条件 多余约束B处梁的挠度应有: vB＝0 (3)利用叠加法求vB 对应图8-6(b)应有： vBR＋vBP＝0 (a) 查表得 （↓） （↑） 将vBR、vBP代入式（a） 解出 解题指导：用变形比较法求解超静定梁可以选择不同的静定基以便于求解为准例如此例也可以选择A端的转角约束作为多余约束其静定基如图8-7所示????????1 。