集合中常见易错问题剖析集合是数学中最基本的概念，集合语言是现代数学的基本 语言，因而在每年的高考中必考.高考考查集合内容以选择 题为主，一般难度不大.但在集合学习中，我们有时会遇到 一些似是而非的问题，此类问题往往是由于我们对某些概念 或公式的认识不深，容易导致我们在解题时造成失误.易错问题一：忽视空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，具有以下性质：?芟？奮A ,? 芟?茹A （ A*?芟），Au?芟二A , An?芟二？芟.在解有关集合 的问题时，常因忽略这些性质而造成不是解题过程残缺不 全,就是解题过程多余，因此在解题中应引起高度重视.例 1 已知集合 P= { x|x2-x-2>0 }, Q={ x|x2+4x+m2 ,或x<-1 }, Q= { x|-2-■2 ,或-2+■<-!, /. 34，此时方程x2+4x+m<0的解集的 合为空集.故m的取值范围为{ m|m>3 }.点评 空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何 集合的子集，是任何非空集合的真子集.在解决有关AnB=? 芟，A?欝B等集合问题时,易忽视空集的情况而造成漏解.易错问题二：忽视集合中元素的互异性集合中元素的互异性是指集合中任何两个元素都是互不 相同的，相同元素归入同一集合时只能算作一个元素.有些 同学在解题中常常因忽视集合的这一重要属性而导致错误.例 2 若 A= { 2,4 , t3-2t2-t+7 }, B={ 1 , t+1 , t2-2t+2 , -■ (t2-3t-8 )},且 AnB= { 2 , 5 },求实数 t 的值.错解 依题意t3-2t2-t+7=5 ,解得t=2或t=±1・故t的值是2或±1.剖析当t=1时，集合B中有两个元素为1 ,与集合中元 素的互异性相矛盾,故应舍去th.点评集合元素的互异性是集合的重要属性，解题时常常 被忽视而导致错误.易错问题三：忽视集合中代表元素的含义在集合的运算中对集合本身概念不清是导致错误最直接的原因之一，解题时首先就要搞清集合中元素的表现形式 和集合中元素的含义.例 3 若 A= { y|y=1-x2 , xeR }, B= { x|y=x2-1 },则 AnB 等于()A. {(1 ,0),( -1,0)} B. {1,-1}C. { 1 } D. { x|x<1 }错解本题容易把集合A, B看作抛物线上的点集而错选 答案A.剖析 事实上集合A、B均表示数集.故选D.点评集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开 始，忽视代表元素的含义，就会出现错误.本题中，集合A、 B中的元素均为数而不是点.易错问题四：忽视隐含条件的限制在利用集合的交集(并集或补集)求某些元素的范围时， 一定要搞清楚题中的隐含条件.例 4 已知 P= { y|y=x2-4x+3 , xeZ }, Q= { y|y=-x2-2x , xgZ },求 PnQ.错解•/ P= { y|y= ( x-2 )2-1 >-1 ,xgZ },Q={ y|y=-( x+1 ) 2+1<1 , xeZ },当 xeZ 时，ywZ ,MnN= { y|y= - 1 ,0,1}.剖析•. x2-4x+3=-1 时,x=2gZ，而-x2-2x=-1 时,x=-1±"? 埸Z ,••• -1?埸如1\1.同理可证，1?埸MnN , OeMnN.故 MnN二{0 }.点评xeZ时，ywZ ,但是当x取遍整数集合中的所有元 素时，y不能取遍大于或等于-1的所有整数.小结在进行集合的运算时，我们要善于利用数轴和韦恩 图解决集合问题，并且注意以下几点:(1 )注意集合语言和 集合思想的运用(2 )注意理解“描述集合元素所具有的属性” 的含义，弄清楚集合元素所具有的形式及其含有的元素;(3 ) 注意空集是任何集合的子集;(4 )注意题中的隐含条件.(编辑孙世奇)。
