初中数学因式分解(含答案)竞赛题精选1终版.docx

初中数学因式分解(一)因式分解是代数式恒等变形的根本形式，是解决数学问题的有力工具．是掌握因式分解对于培养学生解题技能，思维能力，有独特作用．1．运用公式法　　整式乘法公式，反向使用，即为因式分解　　(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；　　(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；　　(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；　　(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．几个常用的公式：　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；　　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；　　(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；　　(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；　　(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．　　分解因式，根据多项式字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：　　(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；　　(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；　(4)a7-a5b2+a2b5-b7．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进展因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．例5 分解因式：　　(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；　　(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．3．换元法　　换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一局部看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．练习一　　1．分解因式：(2)x10+x5-2；　　(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．　　2．分解因式：　　(1)x3+3x2-4；　(2)x4-11x2y2+y2；　　(3)x3+9x2+26x+24；　(4)x4-12x+323．　　3．分解因式：　　(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；　　(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；　(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．初中数学因式分解(一)答案13多项式的因式分解是代数式恒等变形的根本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，开展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材根底上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．　　1．运用公式法　　在整式的乘、除中，我们学过假设干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：　　(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；　　(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；　　(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；　　(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．　　下面再补充几个常用的公式：　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；　　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；　　(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；　　(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；　　(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：　　(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；　　(2)x3-8y3-z3-6xyz；　　(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；　　(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)　　　　　　　=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]　　　　　　　=-2xn-1yn(x2n-y2)2　　　　　　　=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．　　(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)　　　　　 =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．　　(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2　　　　　=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2　　(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)　　　　　 =a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．此题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3　　的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．　　这个式也是一个常用的公式，此题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc　　　　　 =［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)　　　　　 =(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)　　　　　 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为　　a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，那么a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，那么a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，那么有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开场，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．解因为　　x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，　　所以说明在此题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．　　2．拆项、添项法　　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进展因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析此题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9　　　　=(x3-1)-9x+9　　　　=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)　　　　=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8　　　　=(x3-x)+(-8x+8)　　　　=x(x+1)(x-1)-8(x-1)　　　　=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)　　　　=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)　　　　=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8　　　　=x3-x2+x2-9x+8　　　　=x2(x-1)+(x-8)(x-1)　　　　=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：　　(1)x9+x6+x3-3；　　(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；　　(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；　　(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1　　　　=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)　　　　=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)　　　　=(x3-1)(x6+2x3+3)　　　　=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．　　(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn　　　　=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2　　　　=(mn+。