线性代数总复习(知识点).pdf

一、具体行列式的计算一、具体行列式的计算★★★★1)二、三阶行列式的对角线法则 (三阶以上的行列式不能用)；)二、三阶行列式的对角线法则 (三阶以上的行列式不能用)； 2)行列式的性质；)行列式的性质； 3)按行(列)展开公式(设)按行(列)展开公式(设A=(aij)n×n) )4)牢记一些特殊行列式的值：)牢记一些特殊行列式的值：ininiiiiAaAaAa+++=L2211det AnjnjjjjjAaAaAa+++=L2211det A1．掌握内容：1．掌握内容：①上(下)三角行列式①上(下)三角行列式nnnnnnaaaaaaaaaLLOMM221121222111=nnnnnnaaaaaaaaaLMOLL221122211211=②次上下三角行列式②次上下三角行列式11, 211,121, 212) 1( ) 1(nnnnnnnnnnnaaaaaaaaann LLMMN−−−− −=11, 2112 , 11, 211, 1112) 1( ) 1(nnnnnnnnaaaaaaaaann LNML− −−−− −=③范德蒙行列式③范德蒙行列式11 21 122 22 121111−−−=n nnnnnnxxxxxxxxx DLMMMLLL∏ ≥>≥−=1)(jinjixx×−−−−=)())()((1141312xxxxxxxxnL ×−−−×)())((22423xxxxxxnL ××LLL )(1−−×nnxx④分块上下三角行列式④分块上下三角行列式=∗∗∗∗nnnnmmmmbbbbaaaaLLMMMLLLLMMMMLL111111110000nnnnmmmmbbbbaaaaLMMLLMML11111111=∗∗∗∗nnnnmmmmbbbbaaaaLLMMMLLLLMMMMLL111111110000nnnnmmmmbbbbaaaaLMMLLMML111111111)稀——大量元素为零的行列式② 三条线行列式1)稀——大量元素为零的行列式② 三条线行列式: 三对角2)满——大量元素不为零的行列式② 可采用升阶法计算的行列式(各列(行)加到第三对角2)满——大量元素不为零的行列式② 可采用升阶法计算的行列式(各列(行)加到第1列(行)或第列(行)或第n列(行))；(升阶化为箭形)。

利用对角或次对角元消去一条边)；(直接展开得递推公式)列(行))；(升阶化为箭形)利用对角或次对角元消去一条边)；(直接展开得递推公式)2．主要类型：2．主要类型：① 二条线行列式(直接展开降阶)；箭形① 行(列)和相等的行列式① 二条线行列式(直接展开降阶)；箭形① 行(列)和相等的行列式二、代数余子式的有关计算二、代数余子式的有关计算★★ =≠=+++jijiAaAaAajninjiji,0,det 2211AL或或 =≠=+++jijiAaAaAanjnijiji,0,det 2211AL2)强制代换法2)强制代换法1．部分代数余子式：1．部分代数余子式： 1)利用代数余子式的性质1)利用代数余子式的性质nnnnniiinniiininniiaaaaaabbbaaaaaaAbAbAbLMMMLLLMMMLL21, 12 , 11 , 121, 12, 11 , 1112112211+++−−− =+++2．全部代数余子式：2．全部代数余子式：1*)(det)(− ×==AAAnnjiA利用伴随矩阵利用伴随矩阵三、求抽象矩阵的行列式三、求抽象矩阵的行列式★★★★掌握内容：掌握内容： 1)行列式及矩阵的性质(设1)行列式及矩阵的性质(设A, ,B均为均为n阶方阵)阶方阵)，BAABdetdet)det(⋅=AAdet)det(nkk=特别地特别地，AAdet) 1()det(n−=−n n)(det))det((detAEA=AAdet)det(T=AAdet1)det(1=−BABOCAdetdetdet⋅=  nλλλL21det=A其中其中nλλλ,,,21L是是A的的n个特征值。

个特征值BABCOAdetdetdet⋅=  3)利用2)分块上下三角阵的行列式3)利用2)分块上下三角阵的行列式四、求逆矩阵四、求逆矩阵★★★★★★，  = 22211211 aaaaA   −−−==−1121122221122211*11 det1 aaaaaaaaAAA②② 2阶以上阶以上——初等变换法初等变换法),(),(1−→AEEA行变换①① 2阶矩阵阶矩阵——伴随阵法(公式法)对有伴随阵法(公式法)对有1．具体矩阵：1．具体矩阵：2．抽象矩阵：2．抽象矩阵：EAB =或或，EBA=则则A可逆，可逆，BA=−1且③ 分块对角阵求逆公式且③ 分块对角阵求逆公式   =   −−−111BOOA BOOA   =   −−−OABO OBAO111变形为变形为五、求解矩阵方程五、求解矩阵方程★★★★★★矩阵方程矩阵方程——含未知矩阵的等式含未知矩阵的等式CAXB =11−−=CBAX目的目的——考察利用运算规律的技巧方法考察利用运算规律的技巧方法——先利用运算法则通过先利用运算法则通过“字母字母”运算和数值计算的能力。

变形、化简转化为的形式，再利用逆矩阵和矩阵乘法求解运算和数值计算的能力变形、化简转化为的形式，再利用逆矩阵和矩阵乘法求解六、求矩阵的秩六、求矩阵的秩★★1．具体矩阵：1．具体矩阵： 1)利用定义1)利用定义——子式法；2)利用矩阵的初等变换子式法；2)利用矩阵的初等变换2．抽象矩阵：2．抽象矩阵：(化为阶梯形)(化为阶梯形)},min{ranknmnm≤×A}rank,min{rank)rank(BAAB ≤A可逆时可逆时BABrank)rank(=B可逆时可逆时AABrank)rank(=利用有关的结果，如：利用有关的结果，如：A , B为为n阶方阵且阶方阵且OAB =时，时， n≤+BArankrank则则−Axx2．利用特征值．利用特征值——再证再证A的特征值全大于零先证的特征值全大于零先证A实对称，先证实对称，先证A实对称，实对称，三十六、已知矩阵正定(或对称)证明 其它结果三十六、已知矩阵正定(或对称)证明 其它结果★★存在正交矩阵存在正交矩阵Q , 使得, 使得==−nλλλO21T1AA。