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控制工程基础第三章 控制系统时域响应分析第三章 时域响应分析§3.1 典型输入信号与时域响应典型输入信号与时域响应§3.2 一阶系统的瞬态响应一阶系统的瞬态响应§3.3 二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应§3.4 瞬态响应的性能指标瞬态响应的性能指标§3.5 高阶系统的瞬态响应高阶系统的瞬态响应§3.6 应用应用MATLAB确定系统的瞬态响应确定系统的瞬态响应§3.7 传递函数的极零点分布传递函数的极零点分布§3.8 稳态误差分析与计算稳态误差分析与计算§3.1 典型输入信号与时域响应1 系统的输入信号系统的输入信号2 瞬态响应与稳态响应瞬态响应与稳态响应常见的典型输入信号：1.阶跃信号 0t2斜坡函数 10t3 加速度函数 0t 因为持续时间趋于无穷小，所以脉冲高度趋于无穷大，脉冲面积为 当 时，称为单位脉冲函数，又称 函数4脉冲函数 005正弦函数0t究竟采用哪种典型信号？ 取决于系统在正常工作情况下最常见的输入信号 形式。

斜坡信号 随时间逐渐变化的输入阶跃信号 突然的扰动量、突变的输入脉冲信号 冲击输入正弦信号 随时间往复变化的输入 瞬态性能指标是以阶跃信号为典型输入信号定义的时间响应及其组成1、时间响应、时间响应 定义：在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式，在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解时间响应能完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程 2、时域分析的目的、时域分析的目的 在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能优点优点：直观、简便 2 瞬态响应与稳态响应时域响应包括：（以阶跃输入为例）稳态响应稳态响应瞬态响应瞬态响应t(1)时间响应系统在输入信号作用下系统在输入信号作用下, ,其输出随时其输出随时间的变化过程间的变化过程(2)瞬态响应 (Transient Response)开始至稳定状态的响应过程开始至稳定状态的响应过程(3)稳态响应 (Steady-state Response)t->无穷大时的响应无穷大时的响应§3.2 一阶惯性系统的瞬态响应1 一阶系统的数学模型与瞬态响应一阶系统的数学模型与瞬态响应2 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应3 一阶系统的单位斜波响应一阶系统的单位斜波响应4 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应First-order System 一阶系统的瞬态响应-?一、一阶系统的单位阶跃响应结论： 1 一阶系统总是稳定的； 2 可用实验方法测 T； 3 经过3~4T，响应已达 稳态值的95%~98% 4 T 2T 3T 4T 5T98.2%95%99.3%86.5%B0t163.2%A0.632一阶系统的单位阶跃响应曲线Ø 一阶系统单位阶跃响应的特点q 响应分为两部分 ü 瞬态响应：表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程） ü 稳态响应：1表示t时，系统的输出状态q xo(0) = 0，随时间的推移， xo(t) 指数增大， 且无振荡。

xo() = 1，无稳态误差；q xo(T) = 1 - e-1 = ，即经过时间T，系统 响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以 通过实验测量惯性环节的时间常数T；q q 时间常数T反映了系统响应的快慢通常工 程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95% ~98%时，认为系统响应过程基本结束从 而惯性环节的过渡过程时间为3T~4Tq 将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：即ln[1-xo(t)]与时间t成线性关系该性质可用于判别系统是否为惯性环节，以及测量惯性环节的时间常数tln[1-xo(t)]0二、一阶系统的单位斜坡响应t0一阶系统的单位斜坡响应曲线Ø 一阶系统单位斜坡响应的特点q 瞬态响应：T e – t /T ；稳态响应：t – T；q 经过足够长的时间(稳态时，如t 4T)，输 出增长速率近似与输入相同，此时输出为： t – T，即输出相对于输入滞后时间T； q 系统响应误差为： 三、一阶系统的单位脉冲响应98.2%95%99.3%86.5%B0tT 2T 3T 4T 5T63.2%AØ 一阶系统单位脉冲响应的特点q 瞬态响应：(1/T )e – t /T ；稳态响应：0；q xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；q 对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽 度（脉冲宽度小于T）和有限幅值的脉 冲代替理想脉冲信号。

q 线性定常系统的重要特性：线性定常系统的重要特性：•系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应求导得到；信号响应求导得到；•系统对输入信号积分的响应，等于系统对原输入信号系统对输入信号积分的响应，等于系统对原输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件给定响应的积分，其积分常数由初始条件给定不同时间常数下的响应情况不同时间常数下的响应情况由上图可知，T越大，惯性越大一阶系统的性能指标：Ts,它是一阶系统在阶跃输入作用下，达到稳态值的(1-△)所需的时间(△为容许误差)△=2%,ts=4T, △=5%,ts=3T，调整时间反映系统响应的快速性，T越大，系统的惯性越大，调整时间越长，响应越慢§3.3 二阶系统的瞬态响应1 1 二阶系统的数学模型与瞬态响应二阶系统的数学模型与瞬态响应2 2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应3 3 二阶系统的单位斜坡响应二阶系统的单位斜坡响应4 4 二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应Second-order System1 二阶系统的数学模型与瞬态响应-二阶系统特征方程：[s]00特征方程的根：两个不等实根两个相等实根00 （欠阻尼）有一对共轭复根（无阻尼）有一对纯虚根s2s1负阻尼，一对共轭复根，位于右半平面•欠阻尼欠阻尼(0<(0< <1<1) )•零阻尼零阻尼( ( =0=0) )•临界阻尼临界阻尼( ( =1=1) )•过阻尼过阻尼( ( >1>1) )•负阻尼负阻尼( ( <0<0) )2 二阶系统的单位阶跃响应0[s]欠阻尼衰减振荡，角频率为Wdq 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点ü xo() = 1，无稳态误差； ü 瞬态分量为振幅等于 的阻尼 正弦振荡，其振幅衰减的快慢由和n决定。

阻尼振荡频率 ；ü 振荡幅值随减小而加大 0无阻尼等幅振荡0临界阻尼不振荡0过阻尼不振荡动态过程更长[s]0负阻尼不相等正实根单调发散共轭复根0负阻尼发散振荡不同阻尼下二阶系统单位阶跃响应特征阻尼特征根分布动态响应特征0<ξ<1(欠阻尼)一对共轭复根衰减振荡ξ=0(无阻尼)一对共轭虚根等幅振荡ξ=1(临界阻尼)二重实根不振荡ξ>1(过阻尼)两个负实根不振荡，动态过程更长ξ<0(负阻尼)ξ<-1不等正实根单调发散-1<ξ<0共轭复根发散振荡一般在0.4—0.8间响应曲线较好•欠阻尼欠阻尼(0<(0< <1<1) )•临界阻尼临界阻尼( ( =1=1) )•过阻尼过阻尼( ( >1>1) )3 二阶系统的单位斜坡响应•欠阻尼欠阻尼(0<(0< <1<1) )•临界阻尼临界阻尼( ( =1=1) )•过阻尼过阻尼( ( >1>1) )4 二阶系统的单位脉冲响应衰减振荡在欠阻尼条件下，二阶系统的单位脉冲响应是以阻尼自振频率为角频率的衰减振动，并且阻尼越小，振荡的幅度越大§3.4 瞬态响应的性能指标l上升时间上升时间 (Rise Time)l峰值时间峰值时间 (Peak Time)l最大超调量最大超调量 (Overshoot)l调整时间调整时间 (Settling Time)l振荡次数振荡次数Time-domain Performance Specifications对于具有储能元件的系统(即大于或等于一阶的系统)受到输入信号作用时，一般不能立即反应，而表现出一定的过渡过程。

时域分析性能指标是以系统对单位阶跃输入的瞬态响应形式给出响应曲线从响应曲线从0上上升到稳态值的升到稳态值的100%所用时间所用时间响应曲线达响应曲线达到第一个峰到第一个峰值所用时间值所用时间在响应曲线的稳态值上，用稳态值的绝对百分在响应曲线的稳态值上，用稳态值的绝对百分数做一个允许误差范围，响应曲线达到并且永数做一个允许误差范围，响应曲线达到并且永远保持在这一允许误差范围内所用的最小时间远保持在这一允许误差范围内所用的最小时间10t这些点已被确定0.05或0.020[s]欠阻尼情况下二阶系统的单位阶跃响应为：0[s]04.39.416.325.437.252.772.910010.70.60.50.40.30.20.10表3-2 不同阻尼比的最大超调量00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10102030405060708090100Mp二阶系统Mp — 图显然，Mp仅与阻尼比有关最大超调量直接说明了系统的阻尼特性 越大， Mp 越小，系统的平稳性越好，当 时，可以求得相应的 Mp = 25.4%~1.5%10t在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。

N 仅与 有关,与Mp 一样直接说明了系统的阻尼特性越大，N越小，系统平稳性越好对欠阻尼二阶系统，振荡周期则标准二阶系统瞬态响应指标§ 二阶系统的动态性能由n和决定ü 结论§ 通常根据允许的最大超调量来确定一般 选择在之间，然后再调整n以获得合 适的瞬态响应时间§ 一定，n越大，系统响应快速性越好， tr、 tp、ts越小§ 增加可以降低振荡，减小超调量Mp 和振荡 次数N ，但系统快速性降低，tr、tp增加；例1MfK0.0029求M、k、f 的数值例2 设设单单位位反反馈馈的的二二阶阶系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应曲曲线线如如图所示，试确定其开环传递函数图所示，试确定其开环传递函数 例例3解解：：图图示示为为一一欠欠阻阻尼尼二二阶阶系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应曲曲线线由由图图中中给给出出的的阶阶跃跃响响应应性性能能指指标标，，先先确确定定二二阶系统参数，再求传递函数阶系统参数，再求传递函数 0t(s)11.30.1h(t)z=[]p=[ 0 -24.2]k=1129sys=zpk(z,p,k)>> sys=zpk(z,p,k) Zero/pole/gain: 1129----------s (s+24.2)sysc=feedback(sys,1) Zero/pole/gain: 1129---------------------(s^2 + 24.2s + 1129)采用MATLAB反演上述过程§3-5 高阶系统的瞬态响应 对于一般二阶以上的单输入单输出线性定常系统，其传递函数可以表示为： 可见，高阶系统的瞬态响应是由一些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数迭加组成的。

当所有极点均具有负实部时，除了α，其它各项随着t→∞而衰减为零，即系统是稳定的 高阶系统通过合理的简化，可以用低阶系统近似以下两种情况可以作为降阶简化的依据：1、 系统极点的负实部愈是远离虚轴，则该极点对应的项在瞬态响应中衰减得愈快 反之，距虚轴最近的闭环极点对应着瞬态响应中衰减最慢的项，该极点对瞬态响应起主导作用，称之为主导极点决定系统瞬态响应性能方面起主导作用 工程上当极点A距虚轴的距离大于5倍的极点B距虚轴的距离时，分析时可忽略极点A2、 闭环传递函数中，如果零、极点数值上相近，则可将该零点和极点一起消去，称之为偶极子相消•偶极子：一对靠得很近的闭环零极点一对靠得很近的闭环零极点补充定义：主导极点：离虚轴近、又不构成偶极子的极点；主导零点：离虚轴近、又不构成偶极子的零点 对分母分解因式 当考虑主导极点削去(s+60)时，只去掉s，保证静态增益不变n=72.11rad/s，=0.139txo (t)0原系统等效二阶系统单位阶跃响应§3.6 应用MATLAB确定系统的瞬态响应4应用应用Matlab语句语句–阶跃响应阶跃响应￿ ￿step()–脉冲响应脉冲响应￿ ￿impulse()–任意输入的响应任意输入的响应￿ ￿lsim()4Simulink的应用的应用STEP：Step response of LTI models•STEP(SYS) plots the step response of the LTI model SYS (created with either TF, ZPK, or SS). •STEP(SYS,TFINAL) simulates the step response from t=0 to the final time t=TFINAL. •STEP(SYS1,SYS2,...,T) plots the step response of multiple LTI models SYS1,SYS2,... on a single plot. The time vector T is optional. You can also specify a color, line style, and marker for each system, as in step(sys1,'r',sys2,'y--',sys3,'gx').STEP：Step response of LTI models• [Y,T] = STEP(SYS) returns the output response Y and the time vector T used for simulation. No plot is drawn on the screen. If SYS has NY outputs and NU inputs, and LT = length(T), Y is an array of size [LT NY NU] where Y(:,:,j) gives the step response of the j-th input channel.•[Y,T,X] = STEP(SYS) also returns, for a state-space model SYS, the state trajectory X, a LT-by-NX-by-NU array if SYS has NX states.IMPULSE：Impulse response of LTI models.•IMPULSE(SYS) plots the impulse response of the LTI model SYS (created with either TF, ZPK, or SS).•IMPULSE(SYS1,SYS2,...,T) plots the step response of multiple LTI models SYS1,SYS2,... on a single plot. •When invoked with left-hand arguments, [Y,T] = IMPULSE(SYS) returns the output response Y and the time vector T used for simulation. No plot is drawn on the screen. LSIM: Simulate time response of LTI models to arbitrary inputs•LSIM(SYS,U,T) plots the time response of the LTI model SYS to the input signal described by U and T. The time vector T consists of regularly spaced time samples and U is a matrix with as many columns as inputs and whose i-th row specifies the input value at time T(i). •LSIM(SYS1,SYS2,...,U,T,X0) simulates the response of multiple LTI models SYS1,SYS2,... on a single plot. The initial condition X0 is optional. You can also specify a color, line style, and marker for each system, as in lsim(sys1,'r',sys2,'y--',sys3,'gx',u,t).–任意输入的响应任意输入的响应￿ ￿lsim()t=0:99;p=rand(100,1)' a=[1 2];b=[1 2 3];s1=tf(a,b);lsim(s1,p,t)算例>> t=0:0.01:5;u=sin(t);a=[1 2];b=[1 2 3];sys=tf(a,b);lsim(sys,u,t)1 由系统传递函数的零极点分布决定时域特性1.1 时域特性时域特性——g(t)1.2 几种典型的极点分布几种典型的极点分布1.3 有二重极点分布有二重极点分布1.4 零点的影响零点的影响§3.7 传递函数的零极点分布传递函数的零极点分布1.1 时域特性——g(t)反变换第 i个极点决定总特性Ki与零点分布有关1.2 7种典型的极点分布(a)一阶极点在一阶极点在原点原点(b)一阶极点在一阶极点在负实轴负实轴(c)一阶极点在一阶极点在正实轴正实轴(d)一阶共轭极点在一阶共轭极点在虚轴虚轴上上(e)共轭极点在共轭极点在虚轴虚轴上，原点有一上，原点有一零点零点(f)共轭极点在共轭极点在左半平面左半平面(g)共轭极点在共轭极点在右半平面右半平面(a)一阶极点在原点(b)一阶极点在负实轴(c)一阶极点在正实轴(d)一阶共轭极点在虚轴上(e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点(f)共轭极点在左半平面(g)共轭极点在右半平面1.3 有二重极点分布(a)在原点在原点有二有二重极点重极点(b)在负实轴在负实轴上有上有二重极点二重极点(a)在原点有二重极点(b)在负实轴上有二重极点一阶极点分布1.4 零点的影响零点移动到原点1.4 零点的影响幅度多了一个因子多了相移零点的分布只影响时域函数的幅值和相零点的分布只影响时域函数的幅值和相位，不影响振荡频率位，不影响振荡频率应用应用MATLAB语言，编写一计算欠阻尼二语言，编写一计算欠阻尼二阶系统时域性能参数的程序。

阶系统时域性能参数的程序程序输入：系统控制模型程序输入：系统控制模型 (tf对象对象)程序输出：各类时域性能参数程序输出：各类时域性能参数2 编程题作业应用应用MATLAB语言，编写一计算欠阻尼二语言，编写一计算欠阻尼二阶系统时域性能参数的程序阶系统时域性能参数的程序程序输入：系统控制模型程序输入：系统控制模型 (tf对象对象)程序输出：各类时域性能参数程序输出：各类时域性能参数2 编程题编程题1 计算题计算题 3-2 3-6 3-7§3.8 稳态误差分析与计算(本书第６章)•稳态误差的基本概念稳态误差的基本概念•控制系统稳态误差的计算控制系统稳态误差的计算Steady-state Error　1、稳定 2、准确 3、快速误差静差：由元件不完善造成的；原理性误差： 1、不能很好跟踪输入信号造成的； 2、由于扰动引起的对控制系统的基本要求：--偏差偏差1 稳态误差的基本概念(本书节)偏差信号定义为输入信号与反馈信号的差说明：1）误差是从系统输出端来定义的，它是输出的希望值与实际值之差，这种方法定义的误差在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而一般只具有数学意义。

2）偏差是从系统的输入端来定义的，它是系统输入信号与主反馈信号之差，这种方法定义的误差，在实际系统中是可以测量的，因而具有一定的物理意义3）对单位反馈系统而言，误差与偏差是相等的4）有些书上对误差、偏差不加区分，只是从不同的着眼点（输入、输出点）来定义，看参考书时应稍加注意Ø 误差信号E(s)误差信号e(t)定义为系统期望输出Xor(t)与系统实际输出Xo(t)之差，即：E(s)= Xor(s)－ Xo(s)控制系统的期望输出Xor(s) 定义为偏差信号(s)＝0时的实际输出值，即此时控制系统无控制作用，实际输出等于期望输出： Xo(s)＝Xor(s)由：(s)= Xi(s)－H(s)Xo(s) =Xi(s)－H(s)Xor(s)＝0可得：Xor(s)＝Xi(s)/H(s) Ø 偏差信号(s)与误差信号E(s)的关系误差与偏差有简单的比例关系2 控制系统稳态误差的计算–误差传递函数与稳态误差误差传递函数与稳态误差–静态误差系数静态误差系数–扰动引起的误差扰动引起的误差–改善系统稳态精度的方法改善系统稳态精度的方法•按干扰补偿按干扰补偿•按输入补偿按输入补偿–动态误差系数动态误差系数输入引起的稳态误差(本书6.2)一、误差传递函数与稳态误差-先看单位反馈系统 非单位反馈系统-例6-1-从物理意义上解释：从物理意义上解释：稳态误差计算流程1 计算误差传递函数3 根据终值定理计算稳态误差2 计算误差的拉氏变换2.2 静态误差系数(1) 系统类型系统类型(2) 静态位置误差系数静态位置误差系数(3) 静态速度误差系数静态速度误差系数(4) 静态加速度误差系数静态加速度误差系数(1)￿系统类型开环传递函数开环传递函数：0 0型系统：型系统： =0=0；无积分环节；；无积分环节；I I型系统：型系统： =1=1；；1 1个积分环节；个积分环节；IIII型系统：型系统： =2=2；；2 2个积分环节；个积分环节；-2、系统对单位阶跃输入的稳态误差静态位置误差系数静态位置误差系数3、系统对单位斜坡输入的稳态误差静态速度误差系数静态速度误差系数4、系统对单位加速度输入的稳态误差静态加速度误差系数静态加速度误差系数输入误差系数稳态误差系统型别5 小结1．位置误差，速度误差，加速度误差分别指输位置误差，速度误差，加速度误差分别指输入是阶跃、斜坡、匀加速度输入时所引起的输出入是阶跃、斜坡、匀加速度输入时所引起的输出位置上的误差。

位置上的误差2．表概括了表概括了0型、型、I型和型和II型系统在各种输入量作型系统在各种输入量作用下的稳态误差在对角线以上，稳态误差为无用下的稳态误差在对角线以上，稳态误差为无穷大；在对角线以下，则稳态误差为零穷大；在对角线以下，则稳态误差为零3．对于单位反馈控制系统，稳态误差等于稳态偏对于单位反馈控制系统，稳态误差等于稳态偏差4．静态误差系数静态误差系数Kp、、 Kv、、 Ka分别是分别是0型、型、I型和型和II型型系统的开环增益系统的开环增益5．对于非单位反馈控制系统，对于非单位反馈控制系统， Kp、、 Kv、、 Ka将将为位置偏差系数、速度偏差系数、加速度偏为位置偏差系数、速度偏差系数、加速度偏差系数，可先求出稳态偏差后，再求出稳态差系数，可先求出稳态偏差后，再求出稳态误差5 小结6 系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差(误差）等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和 如：总的稳态偏差：例6-2-系统不能承受加速度输入 扰动引起的误差--例6-3-例6-4 某直流伺服电动机调速系统，试求扰动力矩引起的误差为了更进一步减小-物理意义：在扰动作用点与偏差信号之间加上积分环节，就等于加入静态放大倍数为无穷大的环节，于是稳态误差为零。

四、减小系统误差的途径 （1）系统的输出通过反馈元件与输入比较，因此反馈通道的精度对于减小系统误差是至关重要的反馈通道元部件的精度要高，避免在反馈通道引入干扰 （2）在保证系统稳定的前提下， 对于输入引起的误差，可通过增大系统开环放大倍数和提高系统型别减小之； 对于干扰引起的误差，可通过在系统前向通道干扰点前加积分器和增大放大倍数减小之2.4 改善系统稳态精度的方法 （3）有时系统要求性能很高，稳态误差要小，动态性能要好，单靠加大开环增益或串入积分环节往往不能同时满足上述要求这时，可采用复合控制（顺馈）的方法，对误差进行补偿补偿方式可分两种： 1、按干扰补偿 2、按输入补偿1、按干扰补偿-当干扰直接可测量时当干扰直接可测量时补偿器补偿器确定 为何值时，能使干扰 对输出 无影响双通道原理2、按输入补偿-补偿器放在补偿器放在系统回路之外系统回路之外 因此，可先设计系统的回路，使之具有较好的动态性能，然后再设计补偿器，以提高稳态精度。

补偿器不影响特征方程补偿器不影响特征方程即不影响系统动态特性即不影响系统动态特性补偿器只改善稳态精度补偿器只改善稳态精度应用应用MATLAB语言，编写一计算欠阻尼二语言，编写一计算欠阻尼二阶系统时域性能参数的程序阶系统时域性能参数的程序程序输入：系统控制模型程序输入：系统控制模型 (tf对象对象)程序输出：各类时域性能参数程序输出：各类时域性能参数2 编程题1 教材　教材　6-4 6-13作业应用应用MATLAB语言，编写一计算欠阻尼二语言，编写一计算欠阻尼二阶系统时域性能参数的程序阶系统时域性能参数的程序程序输入：系统控制模型程序输入：系统控制模型 (tf对象对象)程序输出：各类时域性能参数程序输出：各类时域性能参数2 编程题编程题。