2022年整理高中数学常见函数：正比例函数、反比例函数与对勾函数.doc

常见函数之 正比例函数、反比例函数与对勾函数1．正比例函数如果y=kx（k是常数，K≠0），那么，y叫做x的正比例函数 一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线一次函数的性质 当k>0时y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小2、反比例函数 (1) 反比例函数及其图象 如果,那么，y是x的反比例函数反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象 （2）反比例函数的性质 当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y随x的增大而减小； 当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大3．对勾函数的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它1） 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+bx（接下来写作f(x)=ax+b/x）当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”如下图所示：a>0 b>0 a<0b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成请自己在图上完成：他是如何叠加而成的对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了2） 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式利用均值不等式可以得到：当x>0时，fx=ax+bx≥2ab当且尽当ax=bx时取等号，此时x=ba当x<0时，fx=ax+bx≤-2ab当且尽当ax=bx时取等号，此时x=-ba即对勾函数的定点坐标：A:ba,2ab、B:-ba,-2ab（3） 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

定义域：xx≠0；值域：{y|y>2ab或y<-2ab}（4） 对勾函数的单调性对于函数fx=ax+bx：单调增区间：-∞,-ba∪ba,+∞)；单调减区间：-ba,0∪0,bayXOy=ax（5） 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：对于函数fx=ax+bx，它的渐进线有两条：y=ax；y=0；（6） 对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，2。