高一数学第十讲二次函数问题教师版.doc

♦、第十讲二次函数问题一、二次函数相关概念二次函数的解析式的三种形式:①一般式 y二ax'+bx+c (a 工 0)；②两根式 y=a (x-xi) (x-x2)(工0);③顶点式 y=a(x-m)2+n(«^0)对于一般式(标准式)y=ax2+bx+c(a^0),它的图像是抛物线,其中系数a, b, c的几何意义如下：(我们讨论a, b, ce R的情况)la」决定(抛物线)的开口大小，a的符号决定开口方向(a>0,开口向上；以0,开 口向下)，X = -JL是对称轴方程，c为抛物线与y轴交点的纵坐标2a二、二次函数的最值1、二次函数的最值(1)若施/?,则当a〉0ll寸，/(x)min=/(-±) = ^£z£,且函数无最大值2a 4a当a<0时，= = 且函数无最小值2a 4d(2)若xG［a, B］时，则二次函数的图彖是一段抛物线弧①当-—e \a,/3］时,则有min{/(a),/(>&)}< f(x)

通常从韦达定理、二次方程的判别式及二次函数与区间的关系三个角度进行 约束1、 无区间约束条件A>0(1) 方程f(x)二0有两正根o _2>oa->0aA>0(2) 方程f(x)二0有两负根o _20-a(3) 方程f (x) =0有两异号实根«-<0aa. a >0,m< xl 0, < /n < x2 < nm八广” AAyd. 6/ < 0, Jtj < in v x? < n/（%） = 0有且只有一个实根属于O，〃）的充要条件是/（777）/（H）＜0・（2）二次方程两个根都属于（加丿）的充要条件冇以下四种情形：2Xm X] =x2 O n由此可得出结论：方程俶2 +/?兀+ c = 0 (gHO)的两个实根都属于区间(77?,n)的充要条件是：b1 — 4ac > 0af (m) > 0«qf(n)>0 这里 f(x) = ax2 4-fe + c ・bm < < n2a(3) 二次方程ax2 + /?x + c = 0的两实根分别在区间(w)的两侧(一根小于加,另一根大于兀)充要条件是: < 妙⑷)° °,这里f(x) = ax2 + bx + c .af S) < 0 二次方程宀以+ c = O的两个实根都在Os)的右侧(两根都大于加)*b~ - 4ac > 0充要条件是：< af (n) > 0b > n2a 二次方程ax2+bx + c = 0的两个实根都在(加曲)的左侧(两根都小于加)充要条件是：b~ - 4ac > 0« > 0 这里 /(x) = ax2 + bx + c ・b < m.2a【例题1]函数/(%) = -2x2 + 6x(-2< x< 2)的值域是( )Q /o ( 9D. -20,-I 2丿A. 一20,叱 B. (—20,4) C. -20,-2 2【解析】先将二次函数的一般式配成顶点式，易知选C。

例题2】求下列二次函数的最人值或者最小值:⑴ /(x) = 2x2 -3x + l(2) /(%) = -/+2x + 3(3) /(x) = -2x2-3x-l,xe[-l,l] (4)川)"兀 + 丄，^(0,+-)3 1 |f (x) = 2x2-3x + l = 2(x—)<-> —4 8 8【分析】(1)因此，当x =-吋,4(2)f(x\ .=—J \ /nin g/(x) = -x2 + 2x + 3 = -(x-1)2+4<4因此，当xi时，/(%) =4J \ / max/W = -2、2 1垢呵-1,1]2 / 1当乳=——时，f —=一， 当 x = _l 时，f (-1) = 04 I 4丿 8当x = i 吋，/(1) = -6,所以 ymax=|，ymin=-6【例题3】设函数/(x) = 2x2 + 3mx4-2m ,求:(1)函数/(%)的最小值g(m)； (2)当加为何值时，g(加)有最大值，最大值是多少?•、(2)当心= £时，g(加)有最大值g(为諾£4【例题4】已知关于兀的方程F+4x_q + 3二0在［-1,1］上有实数解，求实数的 取值范围解析】关丁*的方程/+4兀-° + 3 = 0在［-1,1］上有实数解，即方程兀2 + 4兀+ 3 = °在［-1,1］上有实数解.设/(x) = * + 4兀+ 3,方程x2+4x + 3 = a在［-1,1］上有实数解o a w /(x)的值域.抛物线/(x) = x2+4x4-3开口向上,对称轴方程为x = -2..•/«min=/(-D = O,/(x)max=/ ⑴=8. —“0,8］・【例题5】已知函数y=x2-2x+3在区间［1, t］ (t>l)的最大值为f(t),求f(t) 在区间［2, +8)上的最小值。

解析】因为y=x-2x+3在区间［l,t］上递增，故ymax=(t-l)2+2即 f (t) = (t-l)2+2 且在［2, +8)上递增,故 f (t)nin=f (2) =3【例题6】已知方程4兀$+2(加一1)兀+ (2加+ 3) = 0(加w 7?)有两个负根，求加的取值范亂【解析】依题意有A = 4(m -1)2 - 4x4(2/7? + 3) > 0< 一 (??7 -1) < 0 /. n? > 11 .2m + 3 > 0［例题7］己知二次方程(3/77 -l)x2 + (2/n + 3)兀-加+ 4 = 0有口只有一个实根属于且仅冇一个实根属于（-1，1）当且仅当-1〈/zr43zzrl0-1 <04〃厂53/77-12/77^3、3/77-1>0>0/Z75 - 4【例题8】已知关于；v的二次方程#+2刃科2沪1二0.（1）若方程有两根，其中一根在区间（一1, 0）内，另一根在区间仃，2）内，求H1的范围.（2）若方程两根均在区间（0, 1）内，求/〃的范围.【解析】（1）条件说明抛物线f （x） =x2+2mx+2m+l与x轴的交点分别在区间（一1, 0）和（1, 2）内,则/(0) = 2m + 1<0,/(-1) = 2>0,/(i) = 4/n + 2<0,/(2) = 6m + 5>01m <——2 me R,5m >——65 1O < m < ——6 2・・・实数刃的范围是（-二-丄）・6 27（o）>o,（2）据抛物线与％轴交点落在区间（0, 1）内，列不等式组门1）>°，A>0,0 < -m < 1ni>\ + 迈或 m < 1 - V2,-1 < /n < 0.・・・实数/〃的范围是（--J-V2J.21、已知函数/（x） = x 设人=［-2,4）, B = {x|x2-«x-4<0}，若3匸力，求实数a的取值范围. 已知二次方程（加一 1）兀2 +（3加+ 4）兀+ （加+ 1） = 0的两个根都属于（-1, 1）,求加 的取值范围。

求y = ax2 -4x + l在区间［0, 1］上的最大值和最小值. 如图,建立平而直角坐标系兀巧，兀轴在地平而上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米•某炮位于坐标原点・已知炮弹发射后的轨迹在方程y = kx-丄（1 +疋）兀2伙>o）表示的曲线上其中R与发射方向有关•炮的射程是指炮 弹落地点的横坐标1） 求炮的最大射程；（2） 设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3. 2千米，试问它的横坐标 a不超过多少时，炮弹可以击中它?请说明理由2x + 3在区间［0,册上有最大值3,最小值2,则刃的取值范围是（ ）B. [0,2]C. [1,2]【参考答案】1、 C2、 @ x 4上单调递增， ycin=y( 一)二 1- - , yxax= max｛y(0), y(l)｝a a — ax—4 = 0 W 两个实根a . a2 a L a2Xi = J4 , Xj =— q 4 ，1 2 V 4 2 2 V 4故B^A等价于咔-2月h<4,即月上+ J^v4,解Z得 ~ 2 V 4 2 V 40 < 6/ < 3 ・3、 令二次函数 f(x) = (m-1) x2+ (3m+4) x+m+1,则 mT 工 0,即 in 工 1.f (x) =0的两个实根均在(-1, 1)±,当月•仅当△ = (3/7/ + 4)2 - 4(zz/ 一 1)(〃】+ 1) >0,-12 + 2皿—牛. 3m + 4 , <=> ”， 一 12 - 2VFT 仑-1 < < 1, — _ 4 v 加 v 或“ 2m - 2 5伽-1)/(-1)>0,伽-1)/(1) >0.・・・ni的取值范围为｛讪75<一12-2厲2｛加-12+2厲5<上｝。

5 ^5 ^54、 当沪0时，原函数即为y二-4x+l,其在［0, 1］±是减函数，Ay^x=y (0)=1, yKin=y(l)= 一3・2当时，对称轴x = - <0,函数在［0, 1］±是减函数，aAy^x=y(0)=l, 丫乔二y(l)二 a-3.2 2 2当a>0吋，若-〈1即a〉2吋，函数在［0, -］上单调递减，在［-，1］ a。