初等数学同余式试题及答案.pdf

初等数学同余式试题及答案定义 1：当（ a，m）=1 时，若 ab)(mod1m ，则记 b)(mod1ma，称为形式分数根据定义和记号，则macac关于模表示1，则有下列性质1、.,),(mod2121Zttmmtamtcac2、若（ d，m）=1，且).(mod,1111macacdccdaa则利用形式分数的性质把分母变成1，从而一次同余式的解例 1：解一次同余式)25(mod1917x解：（ 17，25）=1，原同余方程有解，利用形式分数的性质，同余方程解为)25(mod7172418861719x例 2：解同余方程组)15mod(1)10mod(6)12mod(2xxx解：（ 12，10）|6+2， （12，15）|-2-1， （10，15）|6-1 原同余方程有解，且等位于)5mod()3mod( 1)5mod(6)2mod(6)3mod(2)4mod(2xxxxxx)5mod( 1)3mod( 1)4mod(2xxx此时变成模两两互素由孙子定理可求得其解为：)60(mod46x例 3：解一次同余式组)4(mod13)75(mod5751xx解: 用常规方法先求每一个一次同余式的解，得到下列一次同余式组)4(mod3)75(mod57,32, 7xx然后用孙子定理求解，所以同余方程组有3 个解，且解分别为)300(mod7x，)300(mod107x，)300(mod207x例 4：设 2p+1 是素数，则)(mod)() !(12012pPp证：设 n=2p+1,由假设 n 为素数，于是由威尔逊定理有(n-1)! -1(mod n) 由于(n-1)!+1 ( n-1)( n-2)(p+2)( p+1)p( p-1)321+11(n-1)2( n-2)2( n- 3)(p-1) n-( p- 1) p(n-p)+1 p!( n-1)( n- 2)(n-p)+1( p!)2(-1)p+1(mod n) (p!)2(-1)p +10(mod n) (p!)2+(-1)p0(mod 2p+1) 例 5：解同余方程 28x21(mod 35) 解： （28,35）=7|21， 原同余方程有解，且有7 个解原同余方程等价于4x3(mod 5) 而且 4x3(mod 5) 解为 x2(mod 5) 原同余方程解为 2，7，12，17，22，27，31（mod 35）。