高等数学上定积分在物理学上的应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,结束,返回,首页,第三节,一、变力沿直线所作的功,二、液体的侧压力,三、引力问题,四、转动惯量,(,补充,),定积分在物理学上的应用,第,六,章,一、变力沿直线所作的功,设物体在连续变力,F,(,x,),作用下沿,x,轴从,x,a,移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功,.,在其上所作的,功元,素,为,因此变力,F,(,x,),在区间,上所作的功为,例,1.,一个单,求电场力所作的功,.,解,:,当单位正电荷距离原点,r,时,由,库仑定律,电场力为,则,功的元素,为,所求功为,说明,:,位正电荷沿直线从距离点电荷,a,处移动到,b,处,(,a,b,),在一个带,+,q,电荷所产生的电场作用下,P288-1,例,2.,体,求移动过程中气体压力所,解,:,由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为,S,的活塞从,点,a,处移动到点,b,处,(,如图,),作的功,.,建立坐标系,如图,.,由波义耳,马略特定律知压强,p,与体积,V,成反比,即,功元素,为,故作用在活塞上的,所求功为,力为,在底面积为,S,的圆柱形容器中盛有一定量的气,P288-2,例,3.,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功,?,解,:,建立坐标系,如图,.,在任一小区间,上的一薄层水的重力为,这薄层水吸出桶外所作的功,(,功元素,),为,故所求功为,(KJ,),设水的密度为,(KN),一蓄满水的圆柱形水桶高为,5 m,底圆半径为,3m,P289-3,面积为,A,的平板,二、液体侧压力,设液体密度为,深为,h,处的压强,:,当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决,.,平板一侧所受的压力为,小窄条上各点的压强,例,4.,的,液体,求桶的一个端面所受的侧压力,.,解,:,建立坐标系,如图,.,所论,半圆,的,利用对称性,侧压力元素,端面所受侧压力为,方程为,一水平横放的半径为,R,的圆桶,内盛半桶密度为,P290-4,说明,:,当桶内充满液体时,小窄条上的压强为,侧压力元素,故端面所受侧压力为,奇函数,三、引力问题,质量分别为,的质点,相距,r,二者间的引力,:,大小,:,方向,:,沿两质点的连线,若考虑,物体,对质点的引力,则需用积分解决,.,例,5.,设有一长度为,l,线密度为,的均匀细直棒,其中垂线上距,a,单位处有一质量为,m,的质点,M,该棒对质点的引力,.,解,:,建立坐标系,如图,.,细棒上小段,对质点的引力大小为,故垂直,分力元素,为,在,试计算,P291-5,利用对称性,由对称性,棒对质点引力的,水平分力,故棒对质点的,引力大小,为,棒对质点的引力的,垂直分力,为,说明,:,2),若考虑质点克服引力沿,y,轴从,a,处,1),当细棒很长时,可视,l,为无穷大,此时引力大小为,方向与细棒垂直且指向细棒,.,移到,b,(,a,b,),处时克服引力作的功,则有,引力大小为,注意正负号,3),当质点位于棒的左端点垂线上时,内容小结,(1),先用微元分析法求出它的微分表达式,d,Q,一般微元的几何形状有,:,扇,、,片,、,壳,等,.,(2),然后用定积分来表示整体量,Q,并计算之,.,1.,用定积分求一个分布在某区间上的整体量,Q,的步骤,:,2.,定积分的物理应用,:,变力作功,侧压力,引力,转动惯量等,.,条,、,段,、,环,、,带,、,(99,考研,),思考与练习,提示,:,作,x,轴如图,.,1.,为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每,在提升过程中污泥,以,20N/s,的,速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重,2000N,提升速度为,3m/s,问,克服重力需作多少焦耳,(J),功,?,已知井深,30 m,抓斗自重,400N,将抓起污泥的抓斗由,抓起污,x,提升,d,x,所作的功为,米重,50N,提升抓斗中的污泥,:,井深,30 m,抓斗自重,400 N,缆绳每米重,50N,抓斗抓起的污泥重,2000N,提升速度为,3ms,污泥以,20Ns,的速度从抓斗缝隙中漏掉,克服缆绳重,:,抓斗升至,x,处所需时间,:,克服抓斗自重,:,2.,设星形线,上每一点处线密,度的大小等于该点到原点距离的立方,提示,:,如图,.,在点,O,处有一单,位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力,.,同理,故星形线在第一象限的弧段对该质点的,引力大小为,作业,:,P291 2,3,5,9,12,锐角,取多大时,薄板所受的压力,P,最大,.,备用题,斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于,解,:,选取坐标系如图,.,设斜边长为,l,水中,并使一直角边与水面相齐,则其方程为,问斜边与水面交成的,故得唯一驻点,故此唯一驻点,即为所求,.,由实际意义可知最大值存在,即,四、转动惯量,(,补充,),质量为,m,的质点关于轴,l,的转动惯量为,的质点系,若考虑,物体,的转动惯量,则需用积分解决,.,关于轴,l,的转动惯量为,例,6.,求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量,;,求圆盘对直径所在轴的转动惯量,.,解,:,建立坐标系,如图,.,设圆盘面密度为,.,小圆环质量,对应于,的小圆环对轴,l,的转动惯量为,故圆盘对轴,l,的转动惯量为,设有一个半径为,R,质量为,M,的均匀圆盘,平行,y,轴的细条,关于,y,轴的转动惯量元素为,细条质量,:,故圆盘对,y,轴的转动惯量为,取旋转轴为,y,轴,建立坐标系如图,.,。